Question

Из вершины 𝐵 треугольника 𝐴𝐵𝐶 проведеныбиссектриса 𝐵𝐸 и высота 𝐵𝐻, равная 12, причем высота делитсторону 𝐴𝐶 на отрезки 𝐴𝐻 и 𝐻𝐶, равные 9 и 16 соответственно.Найдите стороны треугольника и отрезки, на которые биссектриса делит сторону 𝐴𝐶.

Answer 1

АС=АН+СН=9+16=25

АВ ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника АВН: корень из суммы квадратов катетов. получаем 15.

ВС ищем подобным образом из прямоугольного треугольника ВНС. Получаем 20.

Используем свойство биссектрисы: в треугольнике биссектриса делит противоположную сторону треугольника на отрезки, пропорциональные противолежащим сторонам. То есть АВ/ВС = АЕ/ЕС=15/20=3/4.

Пусть АЕ=х, ЕС=у.

Тогда х/у=3/4

у=4х/3.

х+у=АС=25. Подставляем у=4х/3, получаем уравнение 7х=75, отсюда х=75/7

у=25-75/7 = 100/7

АЕ=75/7

ЕС=100/7

Всё найдено.