Параллельные плоскости

Геометрия10 класс

Материалы к уроку

  • 10. параллельные плоскости.doc

    754 KBСкачать
  • 10. Параллельные плоскости.ppt

    748.5 KBСкачать

Конспект урока

Урок 6. Параллельные плоскости

 

Введем понятие параллельных плоскостей

 

 

Согласно аксиоме A3, если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой.

Отсюда следует, что плоскости либо пересекаются по прямой, либо не пересекаются, т. е. не имеют ни одной общей точку.

 

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Если плоскости a  и b параллельны, пишут: a параллельно b

Определение. Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

 

Если плоскости a и b параллельны, пишут: a параллельно b

Теорема (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

 

Доказательство.

 

Рассмотрим две плоскости: a и  b .

В плоскости a лежат пересекающиеся прямые a1 и b1, а в плоскости b параллельные им пересекающиеся прямые a2и  b2.

Докажем, что a параллельно  b.

 

Доказательство. Рассуждаем методом от противного.

 

Предположим, что плоскости a и b не параллельны. Тогда существует прямая c, по некоторой они пересекаются.

 

Так как прямая a1 параллельна прямой  a2 ,  лежащей в плоскости b, то прямая a1 параллельна плоскости b.

 

Аналогично, прямая b1 параллельна плоскоcти b.

 

Теперь можно воспользоваться свойством прямой, параллельной плоскости.

 

Так как плоскость a проходит через прямую a1, параллельную  другой плоскости b , и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей c будет параллельна прямой a1,  т.е.c параллельно a

 

Но плоскость a проходит и через  прямую b1, параллельную плоскости b, поэтому c параллельно b.

 

Таким  образом, через точку O1 проходят две прямые a1 и b1 , параллельные прямой c.

Но это невозможно, через O1 может проходить только одна прямая, параллельная с.

 

Теорема доказана.

 

Теорема (признак параллельности плоскостей).

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.

 

 

Задача 1. Три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2,  не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A1B1C1 и  A2B2C2 параллельны.

Дано:

Отрезки A1A2, B1B2 и C1C2 не лежат в одной плоскости

O – общая середина отрезков

Доказать: Плоскость A1B1C1 параллельно плоскости A2B2C2

 

 

 

Решение.

В  плоскости A1B1C1возьмем  пересекающиеся отрезки A1B1 и A1C1 , а в плоскости A2B2C2 – отрезки A2B2  и A2C2. Докажем, что они соответственно параллельны.

 

Рассмотрим четырехугольник A1B1A2B2.

Так как его диагонали в точке пересечения делятся пополам, то это параллелограмм.

Поэтому A1B1параллельно A2B2

Аналогично из  четырехугольника A1C1A2Cполучим, что A1C1параллельноA2C2.

По признаку параллельности плоскостей,

A1B1C1параллельноA2BC2

Ч.т.д.

 

Задача 1. Три отрезка A1A2, B1B2 и C1C2,  не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости A1B1C1 и  A2B2C2 параллельны.

 

 

Дано:

A1A2, B1B2 и C1C2 не лежат в одной плоскости

O– общая середина

Доказать:A1B1C1 параллельноA2B2C2

Решение.

A1B1 A1C1 = A1, A2B2пересекает A2C2 = A2.  Докажем, что они соответственно параллельны.

Рассмотрим  A1B1A2B2.

 

Поэтому A1B1параллельно A2B2

Аналогично, в A1C1A2B2: A1C1параллельноA2C2

По признаку параллельности плоскостей,

A1B1C1параллельноA2BC2

Ч.т.д.

Задача 2. Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно.

а) докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.

Дано:

B не лежит в плоскости ADC

M, N и P – середины BA, BC и BD

 

а)

MP – средняя линия  ABD

PNсредняя линия  BCD

MNсредняя линия  ABC

Средняя линия треугольника параллельна основанию.

Возьмем любые 2 стороны   , например MN и MP.

Они пересекаются и параллельны соответствующим сторонам   AC И AD, поэтому  .

 

 

 

 

 

 

б)

Средняя линия треугольника равна половине основания.

 

Стороны  MNP будут в 2 раза меньше сторон  ACD, т. е. пропорциональны им, и коэффициент пропорциональности k равен 0,5.

Углы ΔMNP соответственно равны углам ΔACD, так как стороны углов сонаправлены

 

 

Задача 2. Точка B не лежит в плоскости треугольника ADC, точки M, N и P – середины отрезков BA, BC и BD соответственно.

а) докажите, что плоскости MNP и ADC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника ADC равна 48 см2.

 

 

Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

    Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

    Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

    Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

    Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ