Теорема о трёх перпендикулярах

На прошлых занятиях вы уже познакомились с такими понятиями как: перпендикуляр к плоскости, наклонная, проекция, расстояние от точки до плоскости.

Желательно, что бы картинка была анимированной, т.е. параллельно словам «перпендикуляр к плоскости» проводился перпендикуляр АВ , так же к словам «наклонная» - АС, «проекция» - СВ и «расстояние от точки до плоскости» - тоже АВ.

А теперь попробуем провести прямую через основание наклонной перпендикулярно её проекции. Что можно сказать о данном перпендикуляре?

Если в плоскости провести прямую через основание наклонной перпендикулярно к её проекции на данную плоскость, то эта прямая будет перпендикулярна и к самой наклонной.

Докажем, что прямая ДС перпендикулярна прямой АС:

1.Известно, что прямая АВ перпендикулярна плоскости α, АС-наклонная к плоскости α, ВС-проекция наклонной АС,  прямая СД принадлежит плоскости альфа, а так же прямая СД перпендикулярна прямой ВС по построению.

2.Рассмотрим плоскость АСВ: прямая ДС перпендикулярна прямой ВС по условию, а так как прямая АВ перпендикулярна плоскости альфа, значит прямая АВ будет перпендикулярна и прямой ДС, лежащей в этой плоскости (по теореме о перпендилурности прямой и плоскости).

3.Прямая СД перпендикулярна к двум пересекающимся прямым АВ и ВС, принадлежащим плоскости АВС, значит прямая будет перпендикулярна и самой плоскости АВС-по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

4.Из признака  перпендикулярности прямой и плоскости  следует, что прямая ДС перпендикулярна к любой прямой, лежащей в плоскости АВС, значит прямая ДС перпендикулярна прямой АС.

Таким мы образом мы доказали, что прямая, проведенная в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к  ее проекции на эту плоскость, перпендикулярная к самой наклонной.

Доказанное утверждение называется теоремой о трёх перпендикулярах, так как в ней говорится о связи между тремя перпендикулярами АВ, ДС и ВС.

Желательно выделять прямые и плоскости, о которых говорится в доказательстве.

Существует так же и обратная теорема:

Если провести прямую в плоскости через основание наклонной перпендикулярно к ней, то данная прямая будет перпендикулярна и к ее проекции.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Докажите эту теорему самостоятельно.

Рассмотрим применение теоремы о трех перпендикулярах при решении задач.

Задача1.

Отрезок АД перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ =АС=5 см, ВС=6 см. АД=12 см.Найти расстояние от концов отрезка АД до прямой ВС.

Решение:

1.Дополнительное построение: проведем АЕ перпендикулярно ВС. Отрезок АЕ и будет расстоянием от точки А до прямой ВС.

2. Так как треугольник АВС равнобедренный, то АЕ является высотой и медианой, значит ВЕ=ЕС=3 см

3.Так как треугольник АЕС прямоугольный, то АЕ можем найти по теореме Пифагора:

АЕ=√AC2-EC2   АЕ=√5²-3², АЕ=4 см.

4.Отрезок ВС перпендикулярен АЕ, вместе с тем отрезок ВС перпендикулярен DА(по признаку перпендикулярности прямой и плоскости), тогда по теореме о трех перпендикулярах  ВС перпендикулярен DЕ.

5.Из прямоугольного треугольника ДАЕ найдем ДЕ по теореме Пифагора: ДЕ=√АЕ²+АД², DЕ=√4²+12²=√160=4√10 см.

Дано: ΔАВС-равнобедренный

АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см.

Найти: АЕ, DЕ.

Решение:

1.Д.п.АЕ┴ВС

2.ΔАВС-равнобедренный→АЕ-высота и медиана→ ВЕ=ЕС=3 см

3. АЕ=√AC2-EC2  АЕ=√5²-3², АЕ=4 см.

4.ВС┴АЕ, ВС┴DА→ВС┴ DЕ(по т.т.п.)

5. DЕ=√АЕ²+АD², DЕ=√4²+12²=√160=4√10 см.

Ответ: АЕ=4 см. DE=4√10 см.

Задача 2

Прямая ВД перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Известно,  что ВД=9см, АС=10 см, ВС=ВА=13 см.Найти расстояние а)от точки Д до прямой АС

б)площадь треугольника АСД.

Решение:

1.Проведём ВЕ перпендикулярно АС.

2.Так как Треугольник АВС равнобедренный, то ВЕ –высота и медиана, значит СЕ=ЕА=5 см.

3.ВД перпендикулярна АС, ВЕ перпендикулярна АС, то по теореме о трёх перпендикулярах ДЕ перпендикулярна АС.

4.Расстояние от точки Д до прямой АС это отрезок ДЕ. Так как треугольник ВЕД прямоугольный, то по теореме Пифагора

ДЕ=√ВЕ²+ВД².

В свою очередь ВЕ можно найти из прямоугольного треугольника СВЕ:

ВЕ=√ВС²-ЕС²=√13²-5²=√169-25=12 см.

Тогда ДЕ=√12²+9²=√144+81=15 см

5.В треугольнике АСД: АС-основание, ДЕ-высота, тогда по формуле нахождения площади треугольника(половина произведения основания и высоты) найдем площадь треугольника АДС:

S_ACD=1/2 АС*ДЕ=1/2*10*15=75см²

Дано: ВD┴(АВС), ВD=9см

АС=10 см, ВС=ВА=13 см

Найти: DЕ, S_ACD

Решение:

1.Д.п. ВЕ┴АС

2. ВЕ –высота и медиана , СЕ=ЕА=5 см.

3. ВD┴АС, ВЕ┴АС→DЕ┴АС(по т.т.п.)

4. ΔВЕD прямоугольный,

DЕ=√ВЕ²+ВD²=√12²+9²=√144+81=15 см

ВЕ=√ВС²-ЕС²=√13²-5²=√169-25=12 см.

5. S_ACD=1/2АС*DЕ= 1/2 *10*15=75см²

Ответ:DE=15см, S_ACD=75см²

Сегодня мы расширили свои знания по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей», познакомились с теоремой о трёх  перпендикулярах, доказали ее, научились применять данную теорему при решении задач.