Многогранники. Симметрия в пространстве

Мы продолжаем знакомство с многогранниками.

Вам уже известны такие многогранники как: призма, пирамида, а так же пирамида  правильная и пирамида усечённая.

В курсе планиметрии вы рассматривали симметрию фигур относительно точки и относительно прямой.

Напомню, что точки D и D₁ симметричны относительно точки О- называемой центром симметрии, если О- середина отрезка DD₁.

Причем, точка О симметрична сама  себе.

Точки D и D₁ симметричны относительно прямой а- называемой осью симметрии, если прямая а перпендикулярна отрезку DD₁и проходит через его середину.

Аналогично, любая точка прямой а симметрична сама себе.

Симметрия относительно точки.

Точка О- центр симметрии.

DО=ОD₁

Симметрия относительно прямой.

Прямая а- ось симметрии.

а ┴ DD₁

DО=ОD₁

В курсе стереометрии рассматривается симметрия относительно точки-центра симметрии, симметрия относительно прямой-оси симметрии и симметрия относительно плоскости, называемой плоскостью симметрии.

Итак, точки D и D₁ симметричны относительно плоскости симметрии альфа, если эта плоскость перпендикулярна этому отрезку и проходит через его середину.

Любая точка плоскости симметрии симметрична сама себе.

Симметрия относительно плоскости.

Плоскость α-плоскость симметрии.

α┴ DD₁

DО=ОD₁

Рассмотрим понятия центра, оси и плоскости симметрии фигуры.

Точка называется центром симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры.

Про фигуру, имеющую центр симметрии говорят, что она обладает центральной симметрией.

Например, куб обладает только одним центром симметрии, это точка пересечения  его диагоналей .

Для каждого случая можно построит анимаию : показать получение симметричных точек  при центральной, осевой и зервкальной симметрии

Куб имеет один центр симметрии: точка пересечения диагоналей куба.

Прямая называется осью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры.

Про фигуру, имеющую ось симметрии говорят, что она обладает осевой симметрией.

Так куб имеет 9 осей симметрии: 

три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер.

Куб имеет 9 осей симметрии: 

три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер.

Плоскость называется плоскостью симметрии фигуры, если каждая точка фигуры симметрична относительно неё некоторой точке той же фигуры.

Про фигуру, имеющую плоскость симметрии говорят, что она обладает зеркальной симметрией.

Например, куб имеет 9 плоскостей симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.

Куб имеет 9 плоскостей симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра.

Фигура может иметь один центр (ось, плоскость) симметрии, или несколько центров (осей, плоскостей) симметрии, либо вообще не иметь центра (оси, плоскости) симметрии.

На примере куба вы уже убедились в существовании у него одного центра симметрии, 9 осей симметрии и 9 плоскостей симметрии. То есть куб обладает центральной, осевой и зеркальной симметрией.

Существуют фигуры , которые имеют бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии.

Самой простой такой фигурой являются прямая и плоскость.

Существуют фигуры не имеющие центра, оси или плоскости симметрии.

К примеру, тетраэдр не имеет ни одного центра симметрии, но имеет три оси симметрии, которые проходят через середины скрещивающихся рёбер и 6 плоскостей симметрии, которые проходят через ребро тетраэдра перпендикулярно скрещивающемуся с ним ребру.

Фигура может иметь один центр (ось, плоскость) симметрии;

иметь несколько центров (осей, плоскостей) симметрии;

либо не иметь центра (оси, плоскости) симметрии.

Фигуры, имеющие бесконечно много центров, осей или плоскостей симметрии: прямая и плоскость

Любая точка прямой (плоскости) является её центром симметрии.

Любая прямая (плоскость), перпендикулярная к данной прямой(плоскости), является её осью(плоскостью) симметрии.

Тетраэдр обладает только осевой и зеркальной симметрией.

Многие кристаллы, встречающиеся в природе обладают центральной, осевой и зеркальной симметрией.

Центр, оси и плоскости симметрии многогранника называют элементами симметрии этого многогранника.

Можно показать вращение кристала и его различные виды симметрии

Симметрия кристаллов.

Рассмотрим решение задачи с учётом полученных знаний.

Задача 1.

Сколько осей симметрии имеет:

а) отрезок;

б) правильный треугольник;

в) куб?

Решение:

а) Рассмотрим случаи расположения отрезка на плоскости и в пространстве.

На плоскости отрезок имеет только одну ось симметрии, так как к прямой на плоскости можно провести перпендикуляр и притом только один.

В пространстве можно провести сколько угодно таких прямых, таким образом в пространстве отрезок имеет бесконечно много осей симметрии.

б) Так как треугольник правильный, то есть равносторонний, то его осями симметрии являются медианы, которые в свою очередь являются  высотами и биссектрисами(по свойству равнобедренного треугольника).

Значит таких отрезков всего будет 3.

в)

Куб имеет 9 осей симметрии: 

три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер.

а). На плоскости отрезок имеет только одну ось симметрии.

В пространстве отрезок имеет бесконечно много осей симметрии.

б)

Правильный треугольник имеет три оси симметрии.

Куб имеет 9 осей симметрии.