Скрещивающиеся прямые

Вам уже известны два случая взаимного расположения прямых в пространстве:

1. пересекающиеся прямые;
2. параллельные прямые.

Вспомним их определения.

Определение. Прямые в пространстве называются пересекающимися, если они лежат в одной плоскости и имеют одну общую точку

Определение. Прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

Общим для этих определений является то, что прямые лежат в одной плоскости.

1. Прямые лежат в одной плоскости и имеют общую точку.

Прямые а и b – пересекаются.

1. Прямые лежат в одной плоскости и не имеют общей точки.
   

Прямые a  и  b параллельны

В пространстве так бывает не всегда. Мы можем иметь дело с несколькими плоскостями, и не всякие две прямые будут лежать в одной плоскости.

Например, ребра куба      ABCDA₁B₁C₁D₁

AB и A₁D₁   лежат в разных плоскостях.   

AB и A₁D₁  лежат в разных плоскостях.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует такой плоскости, которая б проходила через эти прямые.  Из определения понятно, что данные прямые не пересекаются и не параллельны.

Определение. Две прямые называются скрещивающимися, если не существует такой плоскости, которая б проходила через эти прямые. 

Докажем теорему, которая выражает признак скрещивающихся прямых.

Теорема (признак скрещивающихся прямых).

Если одна из прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей этой прямой,  то эти прямые скрещивающиеся.

Теорема (признак скрещивающихся прямых).

Если одна из прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке не принадлежащей этой прямой,  то эти прямые скрещивающиеся.

Дано.

 Прямая AB лежит в плоскости α. Прямая CD пересекает плоскость α  в точке С, не принадлежащей прямой АВ.

Доказать, что прямые  AB и DC – скрещиваются.

Доказательство

Доказательство будем вести методом от противного.

Допустим,  АВ и CD лежат в одной  плоскости, обозначим ее β.

Тогда  плоскость β  проходит через прямую AB  и точку  C.

По следствию из аксиом, через  прямую AB и не лежащую на ней точку C можно провести плоскость,  и притом только одну.

Но у нас уже есть такая плоскость - плоскость α. 

Следовательно,  плоскости β и α совпадают.

Но это невозможно,  т.к. прямая CD пересекает α, а не лежит в ней.

Мы пришли к противоречию, следовательно,  наше предположение неверно.  AB и CD лежат в

разных плоскостях и являются скрещивающимися.

Теорема доказана.

Дано:

AB⊂α

CD ∩ α=C, C ∉ AB

Доказать: AB скрещивается с DC

Доказательство

Допустим,  АВ и CD лежат в некоторой  плоскости   β.

Тогда  плоскость β  проходит через прямую AB  и точку  C.

Через  прямую AB и не

лежащую на ней точку C можно провести плоскость,  и притом только одну (следствие из аксиом).

Следовательно,   β≡α.

Но это невозможно,  т.к. прямая CD пересекает α.

Пришли к противоречию, ⇒ AB и CD лежат в разных плоскостях (скрещиваются).

Теорема доказана.

 Итак, возможны три способа взаимного расположения прямых в пространстве:

А) Прямые пересекаются, т.е имеют только одну общую точку.

 Б) Прямые параллельны, т.е. лежат в одной плоскости и не имеют общих точек.

В) Прямые скрещиваются, т.е. не лежат в одной плоскости.

Взаимное расположение прямых в пространстве

Рассмотрим еще одну теорему о скрещивающихся прямых

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Дано:

АВ  и CD – скрещивающиеся прямые

Доказать, что существует плоскость  α такая,  что  прямая AB лежит в плоскости α, а прямая CD параллельна плоскости α.

Доказательство

Докажем существование такой плоскости.

1. Через точку A проведем прямую  AE параллельно CD.
2. Так как прямые  AE и  АВ  пересекаются, то через них можно провести плоскость. Обозначим ее через   α.
3. Так как  прямая CD параллельна  AE, а AE лежит в плоскости  α,  то  прямая CD ∥ плоскости α (по теореме о перпендикулярности прямой и плоскости).

Плоскость α - искомая плоскость.

Докажем, что плоскость α – единственная, удовлетворяющая условию.

Любая другая плоскость, проходящая через прямую АВ, будет пересекать AE, а значит  и параллельную ей прямую CD. Т.е., любая другая плоскость, проходящая через AB пересекается с прямой  CD, поэтому не  является ей параллельной.

Следовательно, плоскость α – единственная. Теорема доказана.

Теорема. Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой, и притом только одна.

Дано:

АВ  и CD – скрещивающиеся прямые

Доказать:

∃ α: AB ⊂α, CD∥α

Доказательство

Докажем существование.

1. Проведем  AE ∥ CD.
2. Проведем плоскость α через пересекающиеся прямые AE и  CD.
3. CD ∥ AE, AE ⊂ α ⇒ CD ∥ α.

Плоскость α - искомая плоскость.

Докажем единственность.

Любая другая плоскость будет пересекать AB, а значит и параллельную ей прямую CD.

Поэтому  α – единственная.

Теорема доказана

Перейдем к задачам.

Точка D не лежит в плоскости треугольника ABC, точки M, N,  и P – середины отрезков DA, DB, и DC соответственно,  точка K лежит на отрезке BN. Выясните взаимное расположение прямых:

а)  ND и AB;

б)  PK и BC;

в)  MN и AB;

г) MP и  AC;

д) NK и AC;

е) MD и BC.

Решение

а)  ND пересекается с  AB в точке  B, поскольку N лежит между B и D;

б)  PK пересекается с BC, поскольку PK не является средней линией  BCD и поэтому не параллельна BC.

в)  MN параллельна  AB, т.к. MN – средняя линия ABD. Средняя линия треугольника параллельна основанию.

г) MP параллельна  AC, т.к. MP – средняя линия  ACD;

д) NK и   AC скрещивающиеся, т.к. они не принадлежат одной плоскости;

е) MD и  BC – скрещивающиеся, т.к. не принадлежат одной плоскости.

Дано:

ΔABC

D ∉ ΔABC

M - середина AD

N -середина BD

P -середина CD

K ∈BN

Выяснить взаимное расположение прямых:

а)  ND и AB;

б)  PK и BC;

в)  MN и AB;

г) MPи  AC;

д) NK и AC;

е) MD и BC.

Решение

а)  ND ∩ AB = B ;

б)  PK ∩ BC = P1;

в)  MN ∥ AB;

г) MP ∥ AC;

д) NK и  AC скрещивающиеся;

е) MD и  BC - скрещивающиеся.

Задача. Прямая с пересекает прямую а, параллельную прямой b. Докажите, что b и c – скрещивающиеся прямые.

Доказательство

Мы с вами знаем признак  скрещивающихся прямых. Если одна из двух прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая пересекает эту плоскость в точке, не лежащей на первой прямой, то эти прямые скрещиваются.

1. Так как, по условию задачи,  прямая а параллельна  прямой b, то  через них можно провести плоскость, т.е. существует некоторая плоскость α, содержащая  прямые a и b .
2. Прямые a  и c пересекаются. Обозначим точку пересечения буквой   M. Так как прямые a и b параллельны, то M не принадлежит b.

1. Выполняется условие: прямая b лежит в плоскости α, а прямая c пересекает эту плоскость в точке M , не лежащей на прямой b. По признаку скрещивающихся прямых   прямые  a и b – скрещиваются.

Что и требовалось доказать.