Площадь поверхности конуса

Вспомним, что такое конус.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом радиусом R, называется конусом.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом радиусом R, называется конусом.

Боковую поверхность конуса можно развернуть на плоскость, разрезав ее по одной из образующих.

Пусть дан конус с радиусом ОА.
Разрежем конус по образующей АВ и развернем его боковую поверхность.

В результате получим круговой сектор, радиус которого равен образующей конуса, а длина дуги АА´ сектора равна длине окружности основания конуса.

AA´ = 2πr.
 

За площадь боковой поверхности конуса принимается площадь его развертки (кругового сектора).

Площадь сектора вычисляется по формуле: пи эль квадрат на угол фи, деленное на 360 градусов,

где  φ (фи) — градусная мера дуги АА´.

Теперь выразим φ через l и r.

Длина дуги АА´ равна с одной стороны длине окружности, а с другой стороны длине кругового сектора в фи градусов, поэтому получаем формулу:
 

Выразим из нее φ: 360 умножить на эр и разделить все на эль.

Подставим это выражение в формулу площади боковой поверхности конуса, получим, что площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

S_бок. = πrl

Можно эту формулу выразить через радиус и высоту конуса:

Площадь боковой поверхности конуса равна произведению числа π на радиус и  на квадратный корень из суммы квадратов радиуса и высоты.

r–радиус основания

h–высота кунуса

Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей боковой поверхности и основания.

Основанием конуса является круг.

S_полн. = πr (r + l)

где  

r - радиус окружности основания, 
l- длина образующей конуса.

Можно эту формулу выразить через радиус и высоту конуса:

Задача.

Найти высоту конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 дм², а площадь основания

равна 8 дм².

Вспомним, что собой представляет осевое сечение конуса: сечение конуса плоскостью, проходящей через его вершину, представляет собой равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны являются образующими конуса.

Решение

1.Осевое сечение конуса представляет собой треугольник РАВ, который является равнобедренным. Выразим площадь осевого сечения через высоту и радиус основания:

площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. АВ равно двум радиусам, подставим в формулу и получим:

площадь сечения равна произведению радиуса на высоту конуса.

2. Из этой формулы выразим высоту.

Из формулы площади основания выражаем радиус.

Получим, что радиус равен корень квадратный из площади основания деленное на пи.
3. Формулу радиуса подставляем в формулу высоты, после преобразований получаем формулу высоты конуса, и находим её.

Высота равна три корня из пи, деленное на корень из двух дм.

Дано конус, РАВ–осевое сечение,

                       S_ΔPAB=6дм², S_осн=8дм²

Найти h.