Question

Помогите решить :

Привести кривую второго порядка к каноническому виду,сделать чертеж в канонической системе координат:

Answer 1

Добрый вечер!

Для приведения кривой второго порядка к каноническому виду, нужно совершить ряд преобразований.

Исходное уравнение:

4 x² + 4 y² - 10 xy - 22 \(\sqrt[]{}\)2x + 14 \(\sqrt[]{}\)2 y + 11 = 0

1. Уберем члены с квадратами и кросс-члены:

4x²  + 4y² - 10xy = - 11 + 22 \(\sqrt[]{}\)2x -14 \(\sqrt[]{}\)2y

2. Перегруппируем члены:

4x² - 10xy + 4y² = - 11 + 22 \(\sqrt[]{}\)2x - 14 \(\sqrt[]{}\)2y

3. Полученное выражение можно записать в виде суммы квадратов:

(2x - y)² + (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 + 7\(\sqrt[]{}\)2)² = 0

Таким образом, канонический вид данной кривой второго порядка:

(2x - y)² + (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 + 7\(\sqrt[]{}\)2)² = 0

Теперь построим чертеж кривой в канонической системе координат:

- Основным элементом чертежа будет точка пересечения осей координат.

- Кривая имеет вид пары пересекающихся прямых.

- Так как коэффициенты x² и y² положительны, кривая является эллипсом.

- Из канонического вида уравнения видно, что оси эллипса параллельны осям координат.

- Для нахождения центра эллипса , найдем точку пересечения прямых (2x - y) = 0 и (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 + 7\(\sqrt[]{}\)2) =0.

Получаем, что х =у/2 и у=(11\(\sqrt[]{}\)2/4 -7\(\sqrt[]{}\)2)/2. Подставив это в уравнение первой прямой, получим х = (11\(\sqrt[]{}\)2/4 - 7\(\sqrt[]{}\)2)/4.

Длина большой полуоси а равна расстоянию от центра эллипса до экстремальной точки по х, то есть до точки, где (2х-у)= +-(плюс минус) 1.

Из уравнения (2х-у)² + (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 +7 \(\sqrt[]{}\)2)² = 0 получаем, что (2х- у)² = 1. Отсюда следует, 2х - у = +- 1.

- Длина малой полуоси b равна половине расстоянию между фокусами эллипса.Фокусы находятся на оси х на расстоянии с\(\sqrt[]{}\)(а² - b²) от центра. Так как фокусы находятся на оси х и оси эллипса параллельно, можно сказать, что фокусы находятся на расстоянии с\(\sqrt[]{}\)b² от центра. Подставим значения центра с = (11\(\sqrt[]{}\)2/4 - 7\(\sqrt[]{}\)2)/4 и а из предыдущего пункта и найдем значение b.

- Нарисуем эллипс с центром , большой и малой полуосью на чертеже.

- Примем протяженность сегмента с² = a² - b² и пропорционально кратим его (уменьшаем иголкой). На базе получившегося эскиза можно провести круг.

- Теперь круг представляется в форме эллипса с центром, полуосью а и общей протяженностью диаметра b.