Вопрос ученика

22 января 2024
Геометрия11 класс
У
Ученик

Помогите решить :

Привести кривую второго порядка к каноническому виду,сделать чертеж в канонической системе координат:

Ответ педагога

25 января 2024

Добрый вечер!

Для приведения кривой второго порядка к каноническому виду, нужно совершить ряд преобразований.

Исходное уравнение:

4 x² + 4 y² - 10 xy - 22 \(\sqrt[]{}\)2x + 14 \(\sqrt[]{}\)2 y + 11 = 0

1. Уберем члены с квадратами и кросс-члены:

4x²  + 4y² - 10xy = - 11 + 22 \(\sqrt[]{}\)2x -14 \(\sqrt[]{}\)2y

2. Перегруппируем члены:

4x² - 10xy + 4y² = - 11 + 22 \(\sqrt[]{}\)2x - 14 \(\sqrt[]{}\)2y

3. Полученное выражение можно записать в виде суммы квадратов:

(2x - y)² + (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 + 7\(\sqrt[]{}\)2)² = 0

Таким образом, канонический вид данной кривой второго порядка:

(2x - y)² + (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 + 7\(\sqrt[]{}\)2)² = 0

Теперь построим чертеж кривой в канонической системе координат:

- Основным элементом чертежа будет точка пересечения осей координат.

- Кривая имеет вид пары пересекающихся прямых.

- Так как коэффициенты x² и y² положительны, кривая является эллипсом.

- Из канонического вида уравнения видно, что оси эллипса параллельны осям координат.

- Для нахождения центра эллипса , найдем точку пересечения прямых (2x - y) = 0 и (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 + 7\(\sqrt[]{}\)2) =0.

Получаем, что х =у/2 и у=(11\(\sqrt[]{}\)2/4 -7\(\sqrt[]{}\)2)/2. Подставив это в уравнение первой прямой, получим х = (11\(\sqrt[]{}\)2/4 - 7\(\sqrt[]{}\)2)/4.

Длина большой полуоси а равна расстоянию от центра эллипса до экстремальной точки по х, то есть до точки, где (2х-у)= +-(плюс минус) 1.

Из уравнения (2х-у)² + (2y - 11 \(\sqrt[]{}\)2/4 +7 \(\sqrt[]{}\)2)² = 0 получаем, что (2х- у)² = 1. Отсюда следует, 2х - у = +- 1.

- Длина малой полуоси b равна половине расстоянию между фокусами эллипса.Фокусы находятся на оси х на расстоянии с\(\sqrt[]{}\)(а² - b²) от центра. Так как фокусы находятся на оси х и оси эллипса параллельно, можно сказать, что фокусы находятся на расстоянии с\(\sqrt[]{}\)b² от центра. Подставим значения центра с = (11\(\sqrt[]{}\)2/4 - 7\(\sqrt[]{}\)2)/4 и а из предыдущего пункта и найдем значение b.

- Нарисуем эллипс с центром , большой и малой полуосью на чертеже.

- Примем протяженность сегмента с² = a² - b² и пропорционально кратим его (уменьшаем иголкой). На базе получившегося эскиза можно провести круг.

- Теперь круг представляется в форме эллипса с центром, полуосью а и общей протяженностью диаметра b.

Задайте свой вопрос!

Наши педагоги максимально быстро дадут на него развёрнутый ответ. Это бесплатно!

Задать вопрос

Новые вопросы

Подготовка к ЕГЭ11 класс
У
Ученик
Здравствуйте! Нигде не могу найти информацию о том, сколько действует школьная золотая медаль, сможете подсказать, пожалуйста? Я закончила школу два года назад, хочу поступить в вуз, даст ли мне медаль дополнительные баллы при поступлении или уже нет?
Ответ дан
Русский язык9 класс
У
Ученик
Добрый вечер Хотела у вас поинтересоваться,я в этим году сдала огэ по русскому. И в тестовой части у меня 4-5 правильных ,сочинение и изложение написала ,смогу ли я набрать баллы на 3? Очень долго сидела с изложение не хватало слов(так где то 72-74 слова,может и меньше ,очень сильно волновалась ,пос...
Ответ дан
Обществознание9 класс
А
амир
здраствуйте, набрал 23 балла огэ обществознание, завтра иду на апеляцию помогите пожалуйста как мне получить один балл на ней 
Алгебра11 класс
У
Ученик
Решить графически уравнение и неравенство: 1) x^2+1=√x+3; 2) 1+2x