Question

Вписанная окружность треугольника АВС касается сторон АВ, ВС и АС в точках М, N и К соответственно. Прямая MN пересекает прямую АС в точке Р, при этом РС = АС. В каком отношении точка К делит сторону АС?

Answer 1

Пусть точка К делит сторону AC в отношении k:1, считая от точки А. Тогда АМ = АК = k, CN = CK =1, PC = AC = k+1.

Соединим вершину В треугольника с центром О окружности, продолжим отрезок ВО до пересечения со стороной ОС в точке L. По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника АВ:ВС = AL:LC, поэтому, если обозначить BM=BM = x, а радиус вписанной окружности за r, то полупериметр треугольника ABC равен p = k+1+x, площадь S треугольника ABC будет равна S = pr = (k+1+x)r. C другой стороны, площадь треугольника ABC можно выразить через произведение длины одной из его сторон на длину перпендикуляра к этой стороне. 

Заметим, что данная окружность является вневписанной для треугольника PNC, значит, по теореме о расстоянии до точки касания длина отрезка PQ, где за Q обозначена точка касания, отличная от точки K, получаем соотношение PQ = p2(полупериметр треугольника PRC) =(1+(1+k)+PR)/2

А так как произведение длины отрезка секущей на длину её внешней части равно квадрату длины касательной, проведённой из той же точки, то MN*PN = PK*PK  или (2+k)*(2+k)=MN*PN

Ответ:точка К касания вписанной окружности со стороной АС делит ее в отношении 2:1, считая от вершины А.