Вопрос ученика

5 февраля 2022
Геометрия9 класс
У
Ученик

Вписанная окружность треугольника АВС касается сторон АВ, ВС и АС в точках М, N и К соответственно. Прямая MN пересекает прямую АС в точке Р, при этом РС = АС. В каком отношении точка К делит сторону АС?

Ответ педагога

6 февраля 2022

Пусть точка К делит сторону AC в отношении k:1, считая от точки А. Тогда АМ = АК = k, CN = CK =1, PC = AC = k+1.

Соединим вершину В треугольника с центром О окружности, продолжим отрезок ВО до пересечения со стороной ОС в точке L. По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника АВ:ВС = AL:LC, поэтому, если обозначить BM=BM = x, а радиус вписанной окружности за r, то полупериметр треугольника ABC равен p = k+1+x, площадь S треугольника ABC будет равна S = pr = (k+1+x)r. C другой стороны, площадь треугольника ABC можно выразить через произведение длины одной из его сторон на длину перпендикуляра к этой стороне. 

Заметим, что данная окружность является вневписанной для треугольника PNC, значит, по теореме о расстоянии до точки касания длина отрезка PQ, где за Q обозначена точка касания, отличная от точки K, получаем соотношение PQ = p2(полупериметр треугольника PRC) =(1+(1+k)+PR)/2

А так как произведение длины отрезка секущей на длину её внешней части равно квадрату длины касательной, проведённой из той же точки, то MN*PN = PK*PK  или (2+k)*(2+k)=MN*PN

Ответ:точка К касания вписанной окружности со стороной АС делит ее в отношении 2:1, считая от вершины А.

Задайте свой вопрос!

Наши педагоги максимально быстро дадут на него развёрнутый ответ. Это бесплатно!

Задать вопрос

Новые вопросы

Литература9 класс
У
Ученик
Скажите, пожалуйста, что есть «классика» в литературе? Каким словом или определением можно обозначить это слово? (жанр, вид, тип и т.д.) Я просто не могу сама разобраться в этом вопросе.
Ответ дан
Русский язык9 класс
У
Ученик
ЗАПИРАТЬ – в корне слова с безударной чередующейся гласной пишется И, так как после корня есть суффикс -А-. ПОНИМАНИЕ – написание безударной чередующейся гласной в корне слова зависит от его лексического значения. ПОДРОСШИЙ – в корне слова с безударной чередующейся гласной пишется О, так как она сто...
Ответ дан
Геометрия11 класс
У
Ученик
ДАНО__Три окружности, первая пересекается со второй, а третья находится внутри первой, но снаружи второй и с ними никак не соприкасается. ЦЕЛЬ__Нужно третью окружность переместить в точку, где она будет касаться первой и второй окружностей одновременно, но будет по-прежнему находиться внутри первой,...
Ответ дан