Question

Как нужно решать квадратное уравнение по теореме Виета?

Answer 1

Общий вид квадратного уравнения имеет вид ax2+ bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты.

Если a = 1, то корни большинства квадратных уравнений можно найти по теореме Виета. Этот способ

нахождения корней достаточно прост, не требует сложных вычислений и быстрее, чем нахождение корней

через дискриминант. Если вы научитесь находить корни по теореме Виета, это в дальнейшем сэкономит вам

много времени при решении квадратных уравнений. А я вам скажу, решать их приходится часто (многие

уравнения, задачи, неравенства сводятся к нахождению корней квадратного уравнения). В общем, учитесь,

это очень полезный способ, особенно в 10-11 классах.

По теореме Виета сумма корней равна –b, произведение корней равно c.

x1+ x2 = -b,

x1* x2= c.

Но как научиться применять эту теорему на практике? Очень просто. Подходя к решению какого-либо

квадратного уравнения, первое, на что смотрим, чему равен коэффициент a, и если он равен 1, значит можно

попробовать найти корни по теореме Виета. Почему не точно найти, а попробовать найти? Потому что всё же

бывают случаи, когда уравнение не имеет решений, или корни этого уравнения – не целые числа (дробные

или иррациональные). Либо может попасться такое квадратное уравнение, корни которого будет трудно

найти по теореме Виета. Но такое бывает не часто.

Так вот, мы выяснили, что a =1. Дальше смотрим на коэффициент c и думает, какие целые числа надо

перемножить, чтоб получилось c. Например, наше c = 12 12 – это 1*12, 2*6, 3*4. Теперь смотрим на

коэффициент b. Сумма наших корней должна равняться –b. Например, в нашем уравнении –b = 7 Значит

наши корни 3 и 4, потому что 3+4 = 7

Решим несколько квадратных уравнений:

1) x2- 14x + 24 = 0

a = 1, значит можем попробовать найти корни по теореме Виета. c = 24, а 24 – это 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Ищем

из этих произведений те, сумма чисел которых получится равной 14 (b = -14, -b = 14). Это 2 и 12 (2+12=14).

Значит x1 = 2, x2= 12

2) x2- 9x + 18 = 0

a = 1, пробуем найти корни по теореме Виета. Произведение равно 18 Это 1*18, 2*9, 3* 6 Сумма равна 9,

следовательно, нам подходит 3 и 6 (3+6=9), x1 = 3, x2= 6

Теперь рассмотрим случаи, когда произведение или сумма корней, или то и другое, отрицательные.

Если произведение корней отрицательное, а сумма положительная, тогда больший по модулю корень,

положительный, меньший по модулю – отрицательный.

Если произведение корней отрицательное, а сумма отрицательная, значит больший по модулю корень

отрицательный, а меньший по модулю положительный.

Если произведение корней положительное, а сумма корней отрицательная, тогда оба корня отрицательные.

Рассмотрим на примерах.

3) x2- 2x - 24 = 0

x1 * x2 = -24,

x1 + x2 = 2

Произведение корней отрицательное, сумма положительная. Значит, больший по модулю корень

положительный, меньший по модулю отрицательный. Мы помним, что 24 – это 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Раз

меньший по модулю корень отрицательный, значит складываем -1 и 24, -2 и 12, -3 и 8, -4 и 6 и ищем то, что в

сумме даст нам 2 Это -4 и 6 (-4+6=2). Следовательно, x1 = -4, x2 = 6

4) x2 + 5x - 24 = 0

x1 * x2 = -24,

x1 + x2 = -5

Произведение корней отрицательное, сумма тоже отрицательная. Значит, больший по модулю корень

отрицательный, а меньший по модулю положительный. 24 = 1*24 или 2*12 или 3*8 или 4*6. Раз больший по

модулю корень отрицательный, значит складываем 1 и -24, 2 и -12, 3 и -8, 4 и -6 и ищем то, что в сумме даст

нам -5 3+(-8) = -5 Следовательно, x1 = 3, x2 = -8

5) x2 +10x + 24 = 0

x1 * x2 = 24,

x1 + x2 = -10

Произведение корней положительное, сумма отрицательная. Значит, оба корня отрицательные. 24 = 1*24 или

2*12 или 3*8 или 4*6. Мы выяснили, что оба корня отрицательные, значит складываем -1 и -24, -2 и -12, -3 и

-8, -4 и -6 и ищем то, что в сумме даст нам -10 Это -4 и -6 (-4+(-6) = -10). Следовательно, x1 = -4, x2 = -6

Если же вы стали находить корни уравнения по теореме Виета и у вас быстро не получилось этого сделать, не

мучайтесь, а считайте дискриминант. Быть может, вам попалось уравнение, дискриминант которого меньше

нуля и уравнение не имеет решений, или корень из дискриминанта не извлекается.