Вопрос ученика

4 апреля 2023
Математика8 класс
У
Ученик
Как нужно решать квадратное уравнение по теореме Виета?

Ответ педагога

4 апреля 2023

Общий вид квадратного уравнения имеет вид ax2+ bx + c = 0, где a, b и c – коэффициенты.

Если a = 1, то корни большинства квадратных уравнений можно найти по теореме Виета. Этот способ

нахождения корней достаточно прост, не требует сложных вычислений и быстрее, чем нахождение корней

через дискриминант. Если вы научитесь находить корни по теореме Виета, это в дальнейшем сэкономит вам

много времени при решении квадратных уравнений. А я вам скажу, решать их приходится часто (многие

уравнения, задачи, неравенства сводятся к нахождению корней квадратного уравнения). В общем, учитесь,

это очень полезный способ, особенно в 10-11 классах.

По теореме Виета сумма корней равна –b, произведение корней равно c.

x1+ x2 = -b,

x1* x2= c.

Но как научиться применять эту теорему на практике? Очень просто. Подходя к решению какого-либо

квадратного уравнения, первое, на что смотрим, чему равен коэффициент a, и если он равен 1, значит можно

попробовать найти корни по теореме Виета. Почему не точно найти, а попробовать найти? Потому что всё же

бывают случаи, когда уравнение не имеет решений, или корни этого уравнения – не целые числа (дробные

или иррациональные). Либо может попасться такое квадратное уравнение, корни которого будет трудно

найти по теореме Виета. Но такое бывает не часто.

Так вот, мы выяснили, что a =1. Дальше смотрим на коэффициент c и думает, какие целые числа надо

перемножить, чтоб получилось c. Например, наше c = 12 12 – это 1*12, 2*6, 3*4. Теперь смотрим на

коэффициент b. Сумма наших корней должна равняться –b. Например, в нашем уравнении –b = 7 Значит

наши корни 3 и 4, потому что 3+4 = 7

Решим несколько квадратных уравнений:

1) x2- 14x + 24 = 0

a = 1, значит можем попробовать найти корни по теореме Виета. c = 24, а 24 – это 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Ищем

из этих произведений те, сумма чисел которых получится равной 14 (b = -14, -b = 14). Это 2 и 12 (2+12=14).

Значит x1 = 2, x2= 12

2) x2- 9x + 18 = 0

a = 1, пробуем найти корни по теореме Виета. Произведение равно 18 Это 1*18, 2*9, 3* 6 Сумма равна 9,

следовательно, нам подходит 3 и 6 (3+6=9), x1 = 3, x2= 6

Теперь рассмотрим случаи, когда произведение или сумма корней, или то и другое, отрицательные.

Если произведение корней отрицательное, а сумма положительная, тогда больший по модулю корень,

положительный, меньший по модулю – отрицательный.

Если произведение корней отрицательное, а сумма отрицательная, значит больший по модулю корень

отрицательный, а меньший по модулю положительный.

Если произведение корней положительное, а сумма корней отрицательная, тогда оба корня отрицательные.

Рассмотрим на примерах.

3) x2- 2x - 24 = 0

x1 * x2 = -24,

x1 + x2 = 2

Произведение корней отрицательное, сумма положительная. Значит, больший по модулю корень

положительный, меньший по модулю отрицательный. Мы помним, что 24 – это 1*24, 2*12, 3*8, 4*6. Раз

меньший по модулю корень отрицательный, значит складываем -1 и 24, -2 и 12, -3 и 8, -4 и 6 и ищем то, что в

сумме даст нам 2 Это -4 и 6 (-4+6=2). Следовательно, x1 = -4, x2 = 6

4) x2 + 5x - 24 = 0

x1 * x2 = -24,

x1 + x2 = -5

Произведение корней отрицательное, сумма тоже отрицательная. Значит, больший по модулю корень

отрицательный, а меньший по модулю положительный. 24 = 1*24 или 2*12 или 3*8 или 4*6. Раз больший по

модулю корень отрицательный, значит складываем 1 и -24, 2 и -12, 3 и -8, 4 и -6 и ищем то, что в сумме даст

нам -5 3+(-8) = -5 Следовательно, x1 = 3, x2 = -8

5) x2 +10x + 24 = 0

x1 * x2 = 24,

x1 + x2 = -10

Произведение корней положительное, сумма отрицательная. Значит, оба корня отрицательные. 24 = 1*24 или

2*12 или 3*8 или 4*6. Мы выяснили, что оба корня отрицательные, значит складываем -1 и -24, -2 и -12, -3 и

-8, -4 и -6 и ищем то, что в сумме даст нам -10 Это -4 и -6 (-4+(-6) = -10). Следовательно, x1 = -4, x2 = -6

Если же вы стали находить корни уравнения по теореме Виета и у вас быстро не получилось этого сделать, не

мучайтесь, а считайте дискриминант. Быть может, вам попалось уравнение, дискриминант которого меньше

нуля и уравнение не имеет решений, или корень из дискриминанта не извлекается.

Задайте свой вопрос!

Наши педагоги максимально быстро дадут на него развёрнутый ответ. Это бесплатно!

Задать вопрос

Новые вопросы

Русский язык11 класс
У
Ученик
Подскажите, пожалуйста, правильно ли написано данное предложение: Кратко, Маркс считает отчуждение человека от его родовой сущности – от труда (и от результатов, и от процесса) корнем страданий человека и человечества
Русский язык6 класс
У
Ученик
1) Всякому овощу свое время.2) С кем у тебя был спор?3) Их знали только в лицо.4) Ее лицо казалось бледным5) Он ни с кем о вас не говорил.6) Кое-что для него мне удалось сделать.Определить начальную форму, определите разряд, падеж.
Ответ дан
Биология10 класс
У
Ученик
В результате овогенеза образуются 4 клетки, 1) Не равнозначные генетически и физиологически 2) Равнозначные генетически, но неравнозначные физиологически 3) Равнозначные физиологически, но неравнозначные генетически
Ответ дан
Математика5 класс
М
Мария
Лист бумаги разделён на квадраты, в которых записаны цифры от 1 до 6, как показано на рисунке, причём каждый квадрат пронумерован одной и той же цифрой с лицевой и тыльной стороны. Листок складывается по пунктирным линиям. Таким образом получается стопка из 6 квадратов, где каждый квадрат имеет номе...
Ответ дан