11. Степень с рациональным показателем

Ранее говорилось, что выражение а степени.. одна энная, где а больше нуля и эн натуральное число, обозначают корень энной степени из числа а. Теперь рассмотрим, какой смысл имеет выражение а степени эм энных, где а - положительное число, эм энных – дробное число.

Если а – положительное число, эм энных – дробное число, причем эм – целое число, эн – натуральное число, то а степени эм энных равно корень энной степени из числа а степени эм.

По определению имеем:

Пять сотых в степени три седьмые равно корню седьмой степени из числа пять сотых в  кубе; одна седьмая в степени одна целая семь десятых равно корень десятой степени из числа одна седьмая в семнадцатой степени; три в степени минус одна восьмая равно корень восьмой степени из числа три минус первой степени.

Степень с основанием, равным нулю, определяется только для положительного дробного показателя: если эм энных – дробное положительное число, где эм и эн натуральные числа, то ноль в степени эм энных равно нулю.

Для отрицательных оснований степень с дробным показателем не рассматривается. Такие выражения, как минус три в степени одна третья, минус девять в степени минус три седьмых, нуль в степени минус одна пятая, не имеют смысла.

Известные нам свойства степени с целым показателем справедливы и для степени с любым рациональным показателем. С их доказательством знакомятся в старших классах. Перечислим эти свойства.

Для любого а большего нуля и любых рациональных чисел пэ и ку:

• При умножении рациональных степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней складываются.
• При делении рациональных степеней с одинаковыми основаниями основание остается прежним, а показатели степеней вычитаются.
• При возведении рациональной степени в рациональную степень основание остается прежним, а показатели степеней перемножаются.

Для любых а и бэ, больших нуля, и любого рационального числа пэ:

• При возведении в рациональную степень произведения в эту степень возводится каждый множитель
• При возведении в рациональную степень дроби в эту степень возводятся числитель и знаменатель

Рассмотрим примеры, в которых используются тождественные преобразования выражений, содержащих степени с дробными показателями.

Первый пример. Найти значение выражения….  от квадрата разности чисел икс в степени одна шестая.. и восьми.. отнять произведение шестнадцати икс в степени одна шестая и разности икс в степени минус одна шестая.. и единицы, при икс равном восьми.

Упростим выражение и получим сумму чисел икс в степени одна третья и сорока  восьми.

Подставим в выражение сумма чисел икс в степени одна третья и сорок восемь, данное значение икс, то есть число восемь, и выполним вычисления….. Получим число пятьдесят.

Рассмотрим второй пример. Сократить дробь, числитель которой равен разности икс в степени пять шестых и девять икс в степени одна третья, знаменатель – разности икс в степени семь двенадцатых и три икс в степени одна третья.

Разложим на множители числитель и знаменатель дроби, затем сократим ее и получим ответ:  сумма икс в степени одна четвертая и три.