14. Решение неравенств второй степени с одной переменной.

 

Неравенства вида: а икс квадрат плюс бэ икс плюс це больше нуля и а икс квадрат плюс бэ икс плюс це меньше нуля, где икс – переменная, а, бэ, це – некоторые числа и а не равно нулю, называются неравенствами второй степени с одной переменной. Решение этих неравенств можно рассматривать как нахождение промежутков, в которых функция игрек равно а икс квадрат плюс бэ икс плюс це принимает положительные или отрицательные значения. Для этого достаточно проанализировать, как расположен график функции игрек равно а икс квадрат плюс бэ икс плюс це в координатной плоскости: куда направлены ветви параболы – вверх или вниз, пересекает ли парабола ось икс и если пересекает, то в каких точках.

Рассмотрим примеры.

Первый пример. Решить неравенство икс квадрат минус икс минус шесть меньше нуля.

Рассмотрим для этого функцию игрек равно икс квадрат минус икс минус шесть. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх. Выясним, как расположена эта парабола относительно оси икс. Для этого решим уравнение икс квадрат минус икс минус шесть равно нулю. Это уравнение имеет корни минус два и три. Значит, парабола пересекает ось икс в двух точках, абсциссы которых равны минус двум и трем. Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости. Из рисунка видно, что функция принимает отрицательные значения, когда икс принадлежит промежутку от минус двух до трех. Следовательно, множеством решений неравенства икс квадрат минус икс минус шесть меньше нуля является промежуток от минус двух до трех.

Заметим, что в рассмотренном способе нас не заинтересовала вершина параболы. Всего лишь нужно было знать, куда направлены ветви параболы и каковы абсциссы точек ее пересечения с осью икс.

Рассмотрим неравенство два икс квадрат плюс семь икс минус четыре больше нуля.

График функции игрек равно два икс квадрат плюс семь икс минус четыре – парабола, ветви которой направлены вверх. Для нахождения точек пересечения с осью икс решим уравнение два икс квадрат плюс семь икс минус четыре равно нулю. Это уравнение имеет корни минус четыре и одна вторая.  Покажем схематически, как расположена парабола в координатной плоскости. Из рисунка видно, что данное неравенство верно, если икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус четырех и от одной второй до плюс бесконечности, то есть решением неравенства является объединение промежутков от минус бесконечности до минус четырех и от одной второй до плюс бесконечности.

 

Решим неравенство минус одна вторая икс квадрат плюс четыре икс минус восемь меньше нуля.

Рассмотрим функцию игрек равно минус одна вторая икс квадрат плюс четыре икс минус восемь. Ее графиком является парабола, ветви которой направлены вниз. Определим, как расположен график относительно оси икс. Для этого решим уравнение минус одна вторая икс квадрат плюс четыре икс минус восемь равно нулю. Это уравнение имеет один корень – число четыре. Значит, парабола касается оси икс. Изобразив схематически параболу, найдем, что функция принимает отрицательные значения при любом икс кроме четырех. Ответ можно записать так: икс – любое число, не равное четырем.

Решим последнее неравенство икс квадрат минус десять икс плюс тридцать один больше нуля.

Графиком функции игрек равно икс квадрат минус десять икс плюс тридцать один является парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы выяснить, как расположена парабола относительно оси икс, решим уравнение икс квадрат минус десять икс плюс тридцать один равно нулю. Находим, что дискриминант равен минус двадцати четырем, то есть он меньше нуля. Это означает, что это уравнение корней не имеет. Значит, парабола не имеет общих точек с осью икс. Показав схематически расположение параболы в координатной плоскости, найдем, что функция принимает положительные значения при любом икс. Ответ: икс – любое число.

Итак, для решения неравенств вида: а икс квадрат плюс бэ икс плюс це больше нуля и а икс квадрат плюс бэ икс плюс це меньше нуля, пользуются следующим алгоритмом:

Первое: находим дискриминант квадратного трехчлена а икс квадрат плюс бэ икс плюс це и выясняем, имеет ли трехчлен корни;

Второе: если трехчлен имеет корни, то отмечаем их на оси икс и через отмеченные точки проводим схематически параболу, ветви которой направлены вверх при а большем нуля или вниз при а меньшем нуля. Если трехчлен не имеет корней, то схематически изображаем параболу, расположенную в верхней полуплоскости при а большем нуля или в нижней при а меньшем нуля;

Третье: находим на оси икс промежутки, для которых точки параболы расположены выше оси икс (если решают неравенство а икс квадрат плюс бэ икс плюс це больше нуля) или ниже оси икс (если решают неравенство а икс квадрат плюс бэ икс плюс це меньше нуля).