Решение неравенств методом интервалов

Рассмотрим функцию эф от икс равно произведению линейных множителей, первый из которых равен сумме икс и три, второй разности икс и четыре, третий – разности икс и шесть.

Областью определения этой функции является множество всех чисел. Нулями функции служат числа минус три, четыре, шесть. Они разбивают область определения функции на промежутки от минус бесконечности до минус трех, от минус трех до четырех, от четырех до шести и от шести до плюс бесконечности.

Выясним, какие знаки имеет функция в каждом из этих промежутков.

Выражение, равное произведению линейных множителей, первый из которых равен сумме икс и три, второй разности икс и четыре, третий – разности икс и шесть представляет собой произведение трех множителей. Знак каждого из этих множителей в рассматриваемых промежутках указан в таблице…

Отсюда ясно, что если икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до минус трех, то функция принимает отрицательные значения;

если икс принадлежит промежутку от минус трех до четырех, то функция принимает положительные значения;

если икс принадлежит промежутку от четырех до шести, то функция принимает отрицательные значения;

если икс принадлежит промежутку от шести до плюс бесконечности, то функция принимает положительные значения.

Мы видим, что в каждом из промежутков функция сохраняет знак, а при переходе через точки минус три, четыре и шесть ее знак изменяется.

Вообще пусть функция задана следующей формулой…. В ней икс – переменная, а икс первое, икс второе, икс энное - не равные друг другу числа, которые являются нулями функции. В каждом из промежутков, на которые область определения разбивается нулями функции, знак функции сохраняется, а при переходе через нуль ее знак изменяется.

Это свойство используется для решения неравенств следующего вида…., где икс первое, икс второе, икс энное – не равны друг другу.

Решим неравенство: произведение трех линейных сомножителей, первый из которых равен сумме икс и семь, второй – сумме икс и два, третий – разности икс и три меньше нуля.

Для решения этого неравенства мы можем воспользоваться рассмотренным выше свойством чередования знаков функции. Отметим на координатной прямой нули функции. Найдем знаки этой функции в каждом из промежутков: от минус бесконечности до минус семи, от минус семи до минус двух, от минус двух до трех, от трех до плюс бесконечности. Для этого достаточно знать, какой знак имеет функция в одном из этих промежутков, и, пользуясь свойством чередования знаков, определить знаки во всех остальных промежутках. При этом удобно начинать с крайнего справа промежутка – от трех до плюс бесконечности, так как в нем значения функции заведомо положительны. Это объясняется тем, что при значениях икс, расположенных правее всех нулей функции, каждый из множителей положителен. Используя свойство чередования знаков, определим, двигаясь по координатной прямой справа налево, знаки данной функции в каждом из остальных промежутков...

Из рисунка видно, что множеством решений неравенства является объединение промежутков от минус бесконечности до минус семи и от минус двух до трех.

Рассмотренный способ решения неравенств называют методом интервалов.

Приведем примеры решения неравенств методом интервалов.

Пример второй. Решим неравенство: произведение икс, разности один и икс.. и суммы икс и пять меньше нуля.

Вынесем за скобку в двучлене один минус икс множитель минус один и поменяем знак неравенства. Получим произведение икс, разности икс и один и суммы икс и пять, которое больше нуля. Мы получили неравенство рассматриваемого нами вида.

Отметим на координатной прямой нули функции эф от икс равно произведению икс, разности икс и один.. и суммы икс и пять. Покажем знаком «плюс», что в крайнем справа промежутке функция принимает положительное значение, а затем, двигаясь справа налево, укажем знак функции в каждом из промежутков. Получим, что множеством решений неравенства является объединение промежутков от минус пяти до нуля и от единицы до плюс бесконечности.

Пример третий. Решим неравенство: сумма пять икс плюс один, умноженная на разность два и икс больше либо равна нулю.

Приведем неравенство к рассматриваемому нами виду. Для этого вынесем за скобки в первом множителе пять, а во втором минус один.  Получим произведение из трех множителей, первый из которых равен минус пять, второй – икс плюс одна пятая, третий – икс минус два, больше либо равно нулю. Разделив обе части на минус  пять, получится неравенство: сумма икс и одной пятой, умноженная на разность икс и два, меньше либо равна нулю.

Отметим на координатной прямой нули функции эф от икс равно сумма икс и одной пятой, умноженная на разность икс и два, то есть точки минус одна пятая и два. Укажем знаки функции в образовавшихся промежутках. Мы видим, что множество решений неравенства состоит из чисел одна пятая и два и чисел, заключенных между ними.

Отметим, что данное неравенство можно решить иначе, используя свойства графика квадратичной функции.

Пример четвертый. Решим неравенство: разность восемь и икс, деленная на икс плюс один, меньше нуля.

Так как знак дроби из левой части неравенства, при всех имеющих смысл значениях икс, совпадает со знаком произведения... разность восьми и икс, умноженная на сумму икс и один, то данное неравенство равносильно неравенству: разность восьми и икс, умноженная на сумму икс и один, меньше нуля. Приведя его к рассматриваемому виду и используя метод интервалов, найдем, что множеством решений этого неравенства, а значит и исходного, является объединение промежутков минус бесконечность-минус один… и восемь-плюс бесконечность.

Рассмотрим пятый пример. Решим неравенство: разность восемнадцать и три икс, деленная на разность икс и два, больше либо равна нулю.

Знак дроби из левой части неравенства совпадает со знаком произведения разности восемнадцать и три икс.. и разности икс и два.. при всех значениях икс, при которых дробь имеет смыл. Поэтому данное неравенство равносильно следующей системе…

Неравенство: разность восемнадцати и три икс, умноженная на разность икс и два, больше либо равна нулю, приведем к виду разность икс и шесть, умноженная на разность икс и два, меньше либо равна нулю.

Решив это неравенство методом интервалов и исключив из множества его решений число два, найдем, что множеством решений исходного неравенства является промежуток от двух до шести, включая число шесть.