13. Дробные рациональные уравнения

 

В каждом из данных уравнений левая и правая части представляют собой рациональные выражения, причем либо оба выражения являются дробными,.. либо одно выражение является дробным, а другое – целым выражением. Такие уравнения называются дробными рациональными уравнениями.

Дробным рациональным уравнением называется уравнение, обе части которого являются рациональными выражениями, причем хотя бы одно из них – дробным выражением.

Решают дробные рациональные уравнения следующим образом:

• Находят общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
• Умножают обе части уравнения на этот знаменатель;
• Решают получившееся целое уравнение;
• Исключают из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель дробей.

Простейшие примеры решения  дробных  рациональных уравнений вы уже рассматривали. Сейчас разберем более сложные.

Рассмотрим первое уравнение.    

Общий знаменатель дробей и единицы будет равен икс квадрат плюс икс минус шесть. Умножив обе части уравнения на общий знаменатель дробей, получим минус восемь икс плюс двадцать шесть равно минус икс квадрат минус икс плюс пятьдесят шесть.  Отсюда икс квадрат минус семь икс минус тридцать равно нулю. Решим полученное квадратное уравнение. Его корни будут равны минус трем и десяти.

 

Теперь нужно проверить, не обращают ли найденные корни в ноль общий знаменатель дробей, входящих в исходное уравнение.  Если икс равен минус трем, то выражение икс квадрат плюс икс минус шесть равно нулю, если икс равен десяти, то общий знаменатель не равен нулю.

Значит, исходное уравнение имеет единственный корень – число десять.

Рассмотрим еще одно уравнение.

Приведение дробей, входящих в данное уравнение, связано с громоздкими преобразованиями и затрудняет нахождение корней уравнения. Поступим следующим образом. Воспользуемся тем, что знаменатели дробей представлены в виде двучленов вида икс плюс бэ, где бэ – некоторое число. Преобразуем уравнение так, чтобы в левой и правой его частях были записаны разности дробей, и каждую из разностей мы заменим дробью. Получим уравнение следующего вида.

Приведя подобные слагаемые, получим следующее уравнение:

Шесть деленное на многочлен икс квадрат плюс двенадцать икс плюс двадцать семь равно шестнадцать деленное на многочлен икс квадрат плюс двадцать шесть икс плюс сто пять.

Откуда получим равенство произведений, первое из которых равно шесть умноженное на многочлен икс квадрат плюс двадцать шесть икс плюс сто пять, а второе – шестнадцать, умноженное на многочлен икс квадрат плюс двенадцать икс плюс двадцать семь. Преобразовав его, получим квадратное уравнение: десять икс квадрат плюс тридцать шесть икс минус сто девяносто восемь равно нулю. Решив его, получим два корня: минус шесть целых шесть десятых и три.  Каждое из этих чисел не обращает в нуль знаменатели дробей, входящих в исходное уравнение. Следовательно, исходное уравнение имеет два корня: минус шесть целых шесть десятых и три.

Рассмотрим третье уравнение.

Оно имеет следующий вид: умножив обе части уравнения на икс минус два, получим целое уравнение: три икс минус шесть равно икс квадрат минус два икс. Очевидно, что оно равнозначно квадратному уравнению икс квадрат минус пять икс плюс шесть. Решив его, получим два корня: два и три.

Проверим, не обращают ли корни уравнение в ноль. При икс равном двум общий знаменатель обращается в ноль, при равном три – нет. Таким образом, корнем данного уравнения является только число три.

И рассмотрим последнее уравнение. Оно имеет следующий вид.

Введем новую переменную игрек, равную икс квадрат минус два икс. Тогда исходное уравнение примет такой вид…

Отсюда получим следующее равенство: шестнадцать игрек квадрат плюс сорок восемь плюс шестьдесят четыре игрек минус одиннадцать игрек квадрат минус одиннадцать игрек равно девять игрек квадрат плюс двадцать семь игрек. Преобразуем его и получим квадратное уравнение: два игрек квадрат минус тринадцать игрек минус двадцать четыре равно нулю. Решив его, получим два корня: минус один с половиной и восемь. Уравнение икс квадрат минус два икс равно минус одна целая пять десятых… корней не имеет, а уравнение икс квадрат минус два икс равно восемь имеет два корня – четыре  и минус два.