12. Целое уравнение и его корни

 

В каждом из представленных уравнений обе части являются целыми выражениями. Такие уравнения называют целыми уравнениями. Напомним, что целым уравнением с одной переменной называется уравнение, правая и левая части которого – целые выражения.

Рассмотрим первое уравнение.

Сумма квадрата разности икс в пятой степени и два… и икс куб…равна разности икс в десятой степени и произведению три и разности икс и два.

Раскроем в нем скобки, … перенесем все члены в левую часть… и приведем подобные члены…… Получим минус четыре икс в пятой степени плюс икс куб плюс три икс минус два равно нулю.

Выполним такие же преобразования во втором уравнении.  Получим икс в шестой степени минус тридцать шесть икс куб минус два икс и минус четырнадцать равно нулю.

В каждом из примеров мы выполняли преобразования, которые приводили к уравнению, равносильному данному. В результате получили уравнение: пэ от икс равно нулю, где пэ от икс – многочлен стандартного вида.

Вообще, любое уравнение можно заменить равносильным ему уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая – нуль.

Если уравнение с одной переменной записано в виде пэ от икс равно нулю, где пэ от икс – многочлен стандартного вида, то степень многочлена называют степенью уравнения.

Степенью произвольного целого уравнения называют степень равносильного ему уравнения вида пэ от икс равно нулю, где пэ от икс – многочлен стандартного вида.

Например, первое уравнение является уравнением пятой степени, второе – шестой.

Уравнение первой степени можно приводить к виду: а икс плюс бэ равно нулю, где икс – переменная, а и бэ некоторые числа, причем а не равно нулю. Из этого уравнения получаем, что икс равно минус бэ деленному на а. Это число является корнем уравнения. Каждое уравнение первой степени имеет один корень.

Уравнение второй степени можно привести к виду: а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно нулю, где икс – переменная, .а, бэ, цэ – некоторые числа, причем а не равно нулю. Число корней такого уравнения зависит от дискриминанта …Дэ равно бэ квадрат минус четыре а цэ. Если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня. Если дискриминант равен нулю, то один корень. Если дискриминант меньше нуля, то уравнение корней не имеет. Таким образом, любое уравнение второй степени имеет не более двух корней. Для нахождения корней при дискриминанте, большем либо равном нулю используется формула икс равно дробь, числитель которой равен минус бэ плюс минус корень из дискриминанта, а знаменатель равен два а.

Уравнение третьей степени можно привести к виду: а икс куб плюс бэ икс квадрат плюс цэ икс плюс дэ равно нулю, уравнение четвертой степени – к виду: а икс четвертой степени плюс бэ икс куб плюс цэ икс квадрат плюс дэ икс плюс е равно нулю, где ..а, бэ, цэ, дэ и ..е – некоторые числа, причем а не равно нулю. Можно доказать, что уравнение третьей степени имеет не более трех корней, уравнение четвертой степени – не более четырех корней. Уравнение энной степени имеет не более эн корней.

Для уравнений третьей и четвертой степеней известны формулы корней, но они сложны и неудобны для применения. Для уравнений пятой степени и выше общих формул корней не существует.

Заметим, что иногда удается решить уравнение третьей и более высокой степени, применяя какой-либо специальный прием. Например, некоторые уравнения нетрудно решить с помощью разложения многочлена на множители.

Решим уравнение: икс куб минус двадцать семь икс квадрат минус икс плюс двадцать семь равно нулю.

Разложим левую часть уравнения на множители. Получим произведение из трех линейных множителей, первый из которых равен разности икс и двадцать семь, второй – разности икс и один, третий - сумме икс и один. Отсюда найдем, что икс минус двадцать семь равно нулю,  или икс минус один равно нулю, или икс плюс один равно нулю.

Таким образом, исходное уравнение имеет три корня: икс первое равен двадцати семи, икс второе равен единице, икс третье равен минус одному.

Уравнения, степень которых выше двух, иногда удается решить с помощью введения новой переменной.

Рассмотрим примеры решения таких уравнений.

Первый пример.

Произведение, первый множитель которого равен икс квадрат плюс икс минус один, а второй – икс квадрат плюс икс минус четыре равно минус два.

Перенесем все члены уравнения в левую часть, преобразуем его в многочлен стандартного вида и получим уравнение: икс в четвертой степени плюс два икс куб минус четыре икс квадрат минус пять икс плюс два.

Для этого уравнения способ решения найти трудно. Однако можно воспользоваться одной особенностью исходного уравнения: в его левой части переменная икс входит только в выражение икс квадрат плюс икс, которое встречается в уравнении дважды. Это позволяет решить данное уравнение с помощью введения новой переменной. Обозначим икс квадрат плюс икс через игрек.

Тогда исходное уравнение сведется к уравнению с переменной игрек: Произведение множителей, первый из которых равен разности игрек и один, а второй – разности игрек и четыре, равно минус два.

После упрощения оно примет вид: игрек квадрат минус пять игрек плюс шесть равно нулю.

Решим это квадратное уравнение, найдем его корни: игрек первое равен двум, игрек второе равен трем.

Отсюда получим, что икс квадрат плюс икс равно двум, или икс квадрат плюс икс равно трем. Решив первое из этих уравнений, получим два корня: один и минус два. Решив второе уравнение, получим два корня, которые приближенно равны одной целой трем десятым и минус двум целым трем десятым.

Таким образом, исходное уравнение имеет четыре корня: один, минус два, одна целая три десятые, минус две целые три десятые.

Метод введения новой переменной позволяет легко решать уравнения четвертой степени, имеющие вид: а икс в четвертой степени плюс бэ икс квадрат плюс цэ равно нулю.

Уравнения: а икс в четвертой степени плюс бэ икс квадрат плюс цэ равно нулю, где а не равно нулю, являющиеся квадратными относительно икс квадрат, называют биквадратными уравнениями.

Рассмотрим еще одно уравнение: шестнадцать икс в четвертой степени минус восемь икс квадрат плюс один равно нулю.

Введем новую переменную, обозначив икс квадрат через игрек. Получим квадратное уравнение: шестнадцать игрек квадрат минус восемь игрек плюс один равно нулю.

Решив его, найдем, что игрек равен двадцати пяти сотым.

Значит, икс квадрат равен  двадцати пяти сотым. Решив это уравнение, найдем, что икс первое равен пяти десятым, икс второе равен минус пяти десятым.

Таким образом, биквадратное уравнение: шестнадцать икс в четвертой степени минус восемь икс квадрат плюс один равно нулю.. имеет два корня: пять десятых и минус пять десятых.