16. Некоторые приемы решения целых уравнений

 

Мы уже говорили, что формулы корней целых уравнений третьей и четвертой степени с одной переменной громоздки и неудобны для практического применения, а для более высоких степеней их вообще не существует. Такие уравнения иногда удается решить, используя специальные приемы.

При решении целых уравнений бывает полезна теорема о корне многочлена, которую мы примем без доказательства: «Если число а является корнем многочлена Пэ от икс равно а нулевое икс в степени эн.. плюс а первый.. икс в степени эн минус один.. плюс а с индексом эн минус один.. икс.. плюс а энный, где а нулевое не равно нулю, то этот многочлен можно представить в виде произведения разности икс и а на Пэ первое от икс, где пэ первое от икс – многочлен эн в минус первой степени».

Эта теорема позволяет решение целого уравнения энной степени, для которого известен один из корней, свести к решению уравнения эн в минус первой степени, в частности, от уравнения третьей степени к квадратному уравнению.

Если целое уравнение с одной переменной, с целыми коэффициентами имеет один корень, то его можно найти, используя теорему о целых корнях целого уравнения: «Если уравнение а нулевое.. икс в степени эн.. плюс а первое.. икс в степени эн минус один.. плюс а с индексом эн минус один.. икс.. плюс а энное равно нулю,  в котором все коэффициенты – целые числа, причем свободный член отличен от нуля, имеет целый корень, то этот корень является делителем свободного члена».

Пусть икс нулевой – целый корень данного уравнения. Тогда верно равенство:

А нулевое.. икс нулевое в степени эн.. плюс а первое.. икс нулевое в степени эн минус один.. плюс а эн минус один.. икс нулевое.. плюс а энное равно нулю. Выполнив некоторые преобразования, получим следующее равенство……..

Число, записанное в этом равенстве в скобках, является целым, так как икс нулевое и все коэффициенты: минус а нулевое, минус а первое, минус а с индексом эн минус один – целые числа. Значит, при делении а энного на икс нулевое получается целое число, то есть икс нулевое – делитель свободного члена.

Рассмотрим примеры решения целых уравнений с использованием указанных теорем.

Один из приемов решения уравнения вида пэ от икс равно нулю, где пэ от икс – многочлен третьей и более высокой степени, состоит, как известно, в разложении многочлена пэ от икс на множители.

Решим уравнение: икс куб.. минус семь икс квадрат.. плюс одиннадцать икс.. минус два.. равно нулю.

Если это уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы о целых корнях целого уравнения он является делителем минус три, то есть равен одному из чисел: один, минус один, два, минус два. Проверка убеждает нас, что корнем уравнения является число два.

Значит в силу теоремы о корне многочлена, многочлен.. икс куб.. минус семь икс квадрат.. плюс одиннадцать икс.. минус два.. можно представить в виде разности икс и два, умноженной на эф от икс, где эф от икс – многочлен второй степени.

Для того чтобы найти многочлен эф от икс, разделим многочлен икс куб.. минус семь икс квадрат.. плюс одиннадцать икс.. минус два.. на двучлен.. икс минус два. Деление многочленов выполним уголком. Получим частное – многочлен икс квадрат.. минус пять икс.. плюс один.

Таким образом, исходное уравнение можно представить в виде произведения разности икс и двух на многочлен икс квадрат минус пять икс.. плюс один, равного нулю.

Отсюда следует, что или первый множитель равен нулю, или второй.

Первое уравнение имеет единственный корень – число два, второе уравнение – два корня: одна вторая часть суммы чисел пять и корень квадратный из двадцати одного, одна вторая часть разности чисел пять и корень квадратный из двадцати одного.

Исходное уравнение имеет три корня: два, одна вторая часть суммы чисел пять и корень квадратный из двадцати одного, одна вторая часть разности чисел пять и корень квадратный из двадцати одного.

Еще одним приемом решения целых уравнений третьей и более высоких степеней является введение новой переменной.

Решим уравнение изображенное на экране... Используем подстановку игрек равно икс квадрат минус два. Получим квадратное уравнение две тысячи четырнадцать игрек квадрат.. плюс две тысячи тринадцать игрек.. минус один равно нулю.

Применение формулы корней квадратного уравнения приводит здесь к громоздким вычислениям. Поступим по-другому. Попытаемся найти целый корень уравнения, если он существует. По теореме о целых корнях целого уравнения он является делителем числа минус один, то есть равен одному или минус одному. Подставляя в уравнение числа один и минус один, убеждаемся, что корнем уравнения является число минус один. Второй корень квадратного уравнения найдем, используя теорему Виета. Так как произведение игрек первого и игрек второго равно минус одна две тысячи четырнадцатая и игрек первое равен минус один, то игрек второе равен одна две тысячи четырнадцатая.

Из равенств икс квадрат минус два равно минус один.. и .. икс квадрат минус два равно одна две тысячи четырнадцатая.. найдем корни исходного уравнения: икс первое равно корень квадратный из числа два, икс второе равно минус корень квадратный из числа два, икс третье равно корень квадратный из числа две целые одна две тысячи четырнадцатая, икс четвертое равно минус корень квадратный из числа две целые одна две тысячи четырнадцатая.

Метод введения новой переменной находит применение при решении возвратных уравнений.

Возвратным уравнением называется уравнение вида: а нулевое икс степени эн.. плюс а первое.. икс степени эн минус один… плюс а с индексом эн минус один… икс.. плюс а энный равно нулю, в котором коэффициенты членов уравнения, одинаково отстоящих от начала и конца, равны.

Рассмотрим пример решения возвратного уравнения четвертой степени.

Решим уравнение икс четвертой степени.. минус семь икс куб.. плюс восемь икс квадрат.. минус семь икс.. плюс один.. равно нулю.

Воспользуемся тем, что коэффициенты членов многочлена, записанного в левой части уравнения, одинаково удаленных от начала и конца, равны между собой.

Разделив обе части на икс квадрат, получим равносильное ему уравнение: икс квадрат.. минус семь икс.. плюс восемь.. минус семь деленное на икс.. плюс один, деленное на икс квадрат равно нулю.

Сгруппируем первый член с последним и второй с четвертым, причем во второй сумме вынесем множитель минус семь за скобки.

Получим следующее уравнение……

Введем новую переменную игрек равно.. сумма икс.. и один, деленная на икс.

Возведем обе части этого уравнения в квадрат и выполнив преобразования, получим уравнение, левой частью которого является сумма икс квадрат и единицы, деленной на икс квадрат, а правая часть  - разности игрек квадрат и два.

Выполнив подстановку, получим следующее уравнение, которое соответствует уравнению игрек квадрат.. минус семь игрек.. плюс шесть равно нулю. Полученное уравнение имеет два корня: игрек первый равно один, игрек второй равно шести.

Значит, сумма икс.. и один, деленного на икс равна один…. или сумма икс.. и один, деленного на икс равна шести.

Решив эти уравнения, получим, что первое из них не имеет корней, а второе имеет два корня: три плюс два корня квадратных из двух и три минус два корня квадратных из двух. Таким образом, исходное уравнение имеет два корня: три плюс два корня квадратных из двух и три минус два корня квадратных из двух.

Иногда удается решить целое уравнение, воспользовавшись свойством возрастания и убывания функций.

Рассмотрим это на примере.

Решим уравнение… икс пятой степени… плюс два икс.. минус три равно нуль.

Если данное уравнение имеет целый корень, то в силу теоремы о целом корне целого уравнения, он является делителем числа минус три. Проверка показывает, что корнем уравнения является число один. Покажем, что других корней у данного уравнения нет. Для этого представим его в виде икс пятой степени равно минус два икс плюс три. Функция игрек равно икс пятой степени является возрастающей, а функция игрек равно минус два икс плюс три – убывающей. Значит, уравнение… икс пятой степени… плюс два икс.. минус три равно нулю имеет единственный корень. Это хорошо видно на рисунке, на котором изображены графики функций игрек рано икс пятой степени и игрек равно минус два икс плюс три. Итак, исходное уравнение имеет единственный корень – число один.а