Уравнение с двумя переменными и его график

Каждое из уравнений: три икс плюс четыре игрек равно шестнадцать, икс квадрат равно девять минус игрек квадрат, икс игрек минус восемь равно нулю – является уравнением с двумя переменными.

Если в уравнении три икс плюс четыре игрек равно шестнадцати подставить вместо икс число четыре, а вместо игрек число один, то получится верное равенство. Пара чисел четыре-один, в которой на первом месте указано значение переменной икс, а на втором –значение игрек, является решением уравнения.. три икс плюс четыре игрек равно шестнадцать.

Решением уравнения с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая это уравнение в верное равенство.

Уравнение с двумя переменными обычно имеет бесконечное множество решений.

Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений, называют равносильными уравнениями.

Степень целого уравнения с двумя переменными определяется так же, как и степень целого уравнения с одной переменной. Если левая часть уравнения с двумя переменными является многочленом стандартного вида, а правая - число ноль, то степень уравнения считают равной степени этого многочлена. Чтобы выяснить степень уравнения с двумя переменными, его заменяют равносильным уравнением, левая часть которого – многочлен стандартного вида, а правая – число ноль. Например, уравнение квадрат разности икс квадрат и игрек равно икс в четвертой степени минус один равносильно уравнению два икс квадрат игрек.. плюс игрек квадрат.. плюс один равно нуль, а значит, является уравнением третьей степени.

Графиком уравнения с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых обращают уравнение в верное равенство.

Мы знаем, что графиком линейного уравнения а икс квадрат плюс бэ игрек равно це, в котором а не равно нулю или бэ не равно нулю, является прямая. Вам известны также графики некоторых уравнений второй степени. Например, графиком уравнения игрек равно икс квадрат является парабола, графиком уравнения икс игрек равно пятнадцать – гипербола.

Покажем, что графиком уравнения икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат, где эр – произвольное положительное число, является окружность радиуса эр с центром в начале координат.

Пусть точка бэ с координатами икс-игрек – произвольная точка этой окружности и не принадлежит ни одной из координатных осей. Тогда из прямоугольного треугольника а о бэ получим аО квадрат плюс абЭ квадрат равно  бэО квадрат. Так как аО равно модуль икс, абЭ равно модуль игрек и бэО равно эр, то модуль икс в квадрате плюс модуль игрек в квадрате равно эр в квадрате, или, опустив знак модуля, получим икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат.

Легко убедиться, что если точка окружности лежит на одной из координатных осей, то ее координаты также удовлетворяют этому уравнению. Например, подставив в уравнение.. икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат… координаты точки це, координаты которой равны минус эр- ноль, получим верное равенство.

Можно доказать, что если точка не принадлежит окружности, как, например, точка дэ или точка е, то ее координаты не удовлетворяют уравнению.. икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат.

Значит, равенство.. икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат.. верно тогда и только тогда, когда точка с координатами икс и игрек принадлежит окружности радиуса эр с центром в начале координат. Отсюда следует, что графиком уравнения.. икс квадрат плюс игрек квадрат равно эр квадрат.. является окружность радиуса эр с центром в начале координат.

Если каждую точку этой окружности перенести параллельно оси икс на модуль а единиц вправо или на модуль а единиц влево.. и параллельно оси игрек на модуль бэ единиц вверх или модуль бэ единиц вниз, то получим окружность того же радиуса с центром в точке О, координаты которой а, бэ. Уравнение этой окружности примет вид:  сумма квадрата разности икс и а… И квадрата разности игрек и бэ равна эр квадрат. Графики уравнений с двумя переменными очень разнообразны. Некоторые из  них приведены на рисунках……