Признак перпендикулярности прямой и плоскости

На разработку конструкции прибора инженер тратить достаточно много времени. Изменяя и модифицируя конструкцию прибора. Почему, например, бытовой вентилятор имеет именно такую форму ? Конструкция должна быть , такой что бы вентилятор не падал и прочно стоял перпендикулярно полу при работе. Конструкцию этого бытового прибора можно перенести на чертёж.

Пол мы заменим на плоскость α, штангу вентилятора изобразим в виде прямой а, ножки крепления в виде прямых b и с.

На экране изображение

На экране появляется элементы чертежа, заменяющие части изображения

Предположим, что если прямая перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости. Докажем предположение.

Рассмотрим нашу прямую а, которая будет перпендикулярна пересекающимся прямым b и с, лежащим в плоскости α. Обозначим точку пересечения прямых-точкой М.

Докажем,  что прямая  а перпендикулярна  плоскости α.

Так как мы знаем, что прямая перпендикулярна плоскости, если перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости, то нам нужно доказать перпендикулярность прямой а произвольной прямой х.

Для доказательства построим дополнительно прямую у, параллельную прямой х и проходящую через точку М.

Дополнительно на прямой а отметим точки М₁ и М₂ так, чтобы точка М была серединой отрезка М₁М₂.

Так же проведём прямую в плоскости , пересекающую прямые b, с, у в точках В,С,Y соответственно.

Соединим полученные точки с концами отрезка М₁М₂. Так как прямые b и с перпендикулярны к прямой а и проходят через середину отрезка М₁М₂, то их можно назвать серединными перпендикулярами к отрезку М₁М₂. Тогда точки В и С  равноудалены от концов отрезка, то есть отрезок  М₁В равен отрезку ВМ₂, а отрезок М₁С равен отрезку СМ₂.

Треугольник ВМ₁М равен треугольнику ВМ₂М по трём сторонам. Из равенства треугольников следует, что угол М₁ВY равен углу.

Тогда треугольники М₁ВY равен треугольнику М₂ВY по двум сторонам и углу между ними. Из равенства этих треугольников следует равенство отрезков М₁Y и M₂Y.

Это означает что треугольник М₁YМ₂ равнобедренный с основанием М₁М₂ и отрезок YМ его медиана, а по свойству медианы равнобедренного треугольника, проведенной к основанию  треугольника,  отрезок YМ является высотой, значит прямые у и а, содержащие эти отрезки, можно считать перпендикулярными.

Прямая у перпендикулярна прямой а, и параллельна прямой х.   По лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой  следует, что прямая х также перпендикулярна прямой а.

Итак, прямая а перпендикулярна любой прямой х, значит перпендикулярна плоскости α.

Но в  этой теореме возможен ещё один случай расположения прямой а, который не демонстрирует наша конфигурация чертежа. Когда  прямая а не проходит через точку пересечения прямых b  и с.

Докажем и этот вариант.

В этом случае проведём прямую а₁, параллельную прямой а и проходящую через точку М.

Важно вспомнить теорему изученную на предыдущем уроке:

если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна этой плоскости.

Так как прямая а перпендикулярна прямым b и с и параллельна прямой а₁, то по лемме прямая а₁ тоже будет перпендикулярна прямым b и с.

В этом расположении прямых  мы уже доказали перпендикулярность прямой к плоскости.

Но тогда если прямая а₁ перпендикулярна плоскости и параллельна прямой а, то по теореме 1 прямая а перпендикулярна плоскости α.

Эта теорема даёт возможность доказать перпендикулярность прямой плоскости  с указанием перпендикулярности только двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости, а не любой прямой. В геометрии данное утверждение называется признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

Рассмотрим применение признака перпендикулярности прямой  и плоскости.

Дан  треугольник АВС с суммой углов А и В в 90 градусов. Прямая ВD проведена перпендикулярно к плоскости треугольника АВС.

Прямая СD лежит в плоскости треугольника ВСD.

Треугольник АВС прямоугольный, так как угол АСВ равен разности 180 градусов и суммы углов А и В. Значит прямая АС перпендикулярна прямой ВС.

По условию прямая  BD  перпендикулярна плоскости АВС, значит она перпендикулярна прямой АС.

Тогда прямая АС перпендикулярна двум пересекающимся прямым ВС и ВD лежащим в плоскости треугольника ВСD, значит АС перпендикулярна к плоскости ВСD  и перпендикулярна прямой СD  лежащей в этой плоскости.

 Рассмотри ещё пример решения задачи.

Даны два  квадрата  АВСD и АВEF.Они расположены так, что бы сторона  AD AF.

Так как АВEF- квадрат, то прямая AВ перпендикулярна стороне AF.

Тогда по признаку перпендикулярности прямой и плоскости АF плоскости квадрата  АВСD и прямой  ВС лежащей в этой плоскости.

По определению квадрата АВСD сторона ВС перпендикулярна прямой АВ, но прямая АВ параллельна прямой FЕ плоскости АВEF, следовательно по лемме о параллельных прямых перпендикулярных к третьей прямой, прямая FE перпендикулярна прямой ВС.

Таким образом, прямая ВС перпендикулярна пересекающимся прямым АF и FE лежащим в плоскости AEF, что следовательно по признаку перпендикулярности прямой к плоскости, значит прямая ВС перпендикулярна к плоскости AEF.

В дальнейшем с помощью данного признака будут доказаны несколько главных теорем о перпендикулярности прямых и плоскостей в просранстве.