Расстояние от точки до плоскости

Расстояние от точки до плоскости

Ранее было рассмотрено, что через точку А, не лежащую на плоскости α, можно провести только одну прямую,  перпендикулярную к этой плоскости.

Дана плоскость α и точка А, не лежащая на ней.

Проведем из точки А прямую, перпендикулярную к плоскости α. Обозначим буквой Н точку пересечения проведенной прямой с плоскостью α.

Определение:

Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра.

Возьмем произвольную точку М, принадлежащую плоскости α и отличную от Н. Соединим точки А и М.

Определение:

Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α. Точка М называется основанием наклонной.

Соединим точки М и Н.

Определение:

Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.

Имеется точка А и два отрезка, проведенных из этой точки к плоскости α: отрезок АН и отрезок АМ. Как вы думаете, какой из этих отрезков меньше?

Рассмотрим отрезки  АН и АМ.

Для этого рассмотрим треугольник АНМ. Это прямоугольный треугольник, так как угол АНМ равен 90 градусам (так как АН перпендикулярна плоскости α). Тогда сторону АН можно назвать катетом, а сторону АМ гипотенузой. Но гипотенуза всегда больше катета. Поэтому АН < АМ.

Значит, перпендикуляр, проведенный из точки, не лежащей на плоскости, к этой же плоскости, всегда меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же плоскости.

Таким образом из всех расстояний от точки А до разных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки Н.

Определение:

Расстоянием от точки А до плоскости α называется длина перпендикуляра АН, проведенного к плоскости α.

Рассмотрим решение типовой задачи по теме.

Задача.

Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены перпендикуляр АО и две равные наклонные АМ и АН. Известно, что АО = 3 единицам, АМ = АН = 5 единицам. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Решение:

Из прямоугольного треугольника АОМ найдем ОМ по теореме Пифагора. ОМ² = 25 – 9 = 16 или ОМ=4 единицы. Тогда МН=2*ОМ = 8 ед.

Ответ: МН=8 ед.

Рассмотрим три замечания к теме, которые необходимы для решения задач.

Замечание 1

Пусть даны две параллельные плоскости α и β. Тогда все точки плоскости α будут равноудалены от плоскости β.

Действительно. На плоскости α взяты произвольные точки А и М.  Из этих точек на плоскость β опустим перпендикуляры АН и МО соответственно. Следовательно, перпендикуляр АН параллелен перпендикуляру МО.

Эти перпендикуляры  будут равными, по второму свойству параллельности плоскостей, которое звучит так: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Определение.

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой.

На рис  расстоянием между параллельными плоскостями α и β является отрезок, например, МО.

Замечание 2

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АО на плоскость α.

Определение.

Длина перпендикуляра  АО  называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Задача.

Найдите расстояние между прямой МН и плоскостью параллельного ей прямоугольника АВСД, если известно, что МН=6см; угол МНО=45 градусам (см. рис 015).

Дано: МН || АВСД; МН=6см; МНО=45°; МО  АВСД

Найти: МО

Решение:

МНО прямоугольный. Используя определения тригонометрической функции тангенс (Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету), имеем  МО=tg45°*6=1*6=6см

Ответ: 6см

Замечание 3

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Тогда плоскость α, проходящая через прямую а, параллельна прямой b (по теореме: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой и притом только одна.).

Определение.

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

На рис расстоянием между скрещивающимися прямыми а и b является отрезок МО.

Картинка:

Показывается презентация4.pps, как это делать.

Текст:

Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра.

Картинка:

Картинка:

На  жирным шрифтом выделяются названные отрезки.

Картинка:

На рис 009 жирным шрифтом выделяется длина перпендикуляра АН

Текст:

Расстоянием от точки А до плоскости α называется длина перпендикуляра АН, проведенного к плоскости α.

Картинка:

Текст:

Решение:

АОМ: ОМ²=АМ²–АО²

ОМ² = 25 – 9 = 16

ОМ=4,

МН=2*ОМ = 8 ед

Картинка:

Текст:

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой.

Картинка:

Текст:

Длина перпендикуляра  АО  называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Картинка:

Текст:

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

Картинка: