Параллелепипед

Параллелепипед

Рассмотрим эти предметы:

Строительный кирпич

Игральный кубик

Микроволновая печь

Эти предметы объединяет форма.

Поверхность, состоящая из двух равных параллелограммов АВСD и А₁В₁С₁D₁

и четырех параллелограммов АА₁В₁В и ВВ₁С₁С, СС₁D₁D, АА₁D₁D называется параллелепипедом.

Параллелограммы, из которых составлен параллелепипед, называются гранями. Грань А₁В₁С₁D₁. Грань  ВВ₁С₁С. Грань АВСD.

При этом грани АВСD и А₁В₁С₁D₁ чаще называют основаниями, а остальные грани боковыми.

Стороны параллелограммов называются ребрами параллелепипеда.  Ребро А₁В₁. Ребро СС₁. Ребро АD.

Ребро СС₁,  не принадлежит основаниям, оно называются боковое ребро.

Вершины параллелограммов называют вершинами параллелепипеда.

Вершина D₁. Вершина В. Вершина С.

Вершины D₁ и В

не принадлежат одной грани и называются противоположными.

Параллелепипед можно изображать разными способами

Параллелепипед в основании, которого лежит ромб, При этом изображениями граней являются параллелограммы.

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат. Невидимые рёбра АА₁, АВ, АD изображаются штриховыми линиями. 

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат

Параллелепипед в основании, которого лежит прямоугольник или параллелограмм

Параллелепипед, у которого все грани квадраты. Чаще его называют кубом.

На рисунке с анимацией появляется формы

На экране изображение

На экране обновляется изображение:

АВСDА1В1С1D1 - параллелепипед

На экране изображение с анимацией элементов.

Грани: АВСD–нижнее основание А1В1С1D1-верхнее основание боковые грани АА1В1В ВВ1С1С СС1D1D АА1D1D

На экране изображение с анимаций элементов:

Рёбра: АВ, ВС,CD, AD, А1В1,В1С1, C1D1, A1D1, АА1, ВВ1, СС1, DD1–боковые рёбра

На экране изображение с анимацией появления элементов

Вершины:

А, В, С, D,

А₁,В₁,С₁,D₁

D1 и В А1 и С D и В1 А и C1

противоположные вершины

На экране изображение и текст:

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед в основании, которого лежит ромб

На экране изображение и текст:

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед в основании, которого лежит квадрат

На экране изображение и текст:

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед в основании, которого лежит прямоугольник или параллелограмм

На экране изображение и текст:

Способы изображения параллелепипеда

Параллелепипед, у которого все грани равные квадраты

Все рассмотренные параллелепипеды обладают свойствами. Сформулируем и докажем их.

Свойство 1. Противоположные грани параллелепипеда параллельны и равны.

Рассмотрим параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ и докажем, например,  параллельность и равенство граней ВВ₁С₁С и АА₁D₁D.

По определению параллелепипеда грань АВСD параллелограмм, значит по свойству параллелограмма  ребро ВС параллельно ребру АD.

Грань АВВ₁А₁   тоже параллелограмм, значит ребра ВВ₁ и АА₁ параллельны.

Это означает  что две пересекающиеся прямые  ВС и  BB₁ одной плоскости соответственно параллельны двум прямым  АD и АА₁ соответственно другой плоскости, значит  плоскости АВВ₁А₁ и ВСС₁D₁ параллельны.

Все грани параллелепипеда параллелограммы а значит ВС=АD, ВВ₁ =АА₁.

При этом стороны углов В₁ВС и А₁АD соответственно сонаправлены, значит они равны.

Таким образом, две смежные стороны и угол между ними  параллелограмма АВВ₁А₁ соответственно равны двум смежным сторонам и углу между ними параллелограмма ВСС₁D₁, значит эти параллелограммы равны.

На экране изображение и текст:

Параллелепипед обладает ещё  свойством о диагоналях . Диагональю параллелепипеда называется отрезок соединяющий не соседние вершины. На чертеж пунктирной линией показаны диагонали В₁D, BD_1, А₁С_.

Итак, свойство 2. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и точкой пересечения делятся пополам.

Для доказательства свойства рассмотрим четырехугольник ВВ₁D₁D. Его диагонали В₁D, BD₁ являются диагоналями параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁.

В первом свойстве мы уже выяснили, что  ребро ВВ₁  параллельно и равно ребру АА_1, но ребро АА₁ параллельно и равно ребру DD_1. Следовательно рёбра ВВ₁ и DD₁ параллельны и равны, что доказывает четырехугольник ВВ₁D₁D– параллелограмм. А в параллелограмме по свойству диагонали В₁D, BD₁  пересекаются в  некоторой точке О и этой точкой делятся пополам.

Четырехугольник ВС₁D₁А также  является параллелограммом и его диагонали С₁А,  пересекаются в одной точке и делятся этой точкой пополам. Диагонали параллелограмма С₁А, ВD₁ являются диагоналями  параллелепипеда, а значит сформулированное свойство доказано.

На экране чертёж и текст

 Определение. Диагональю параллелепипеда -это отрезок соединяющий противоположные вершины.

В1D, BD1, А1С– диагонали параллелепипеда.

Для закрепления теоретических знаний  о параллелепипеде рассмотрим задачу на доказательство.

На рёбрах параллелепипеда  отмечены точки L,M,N,P так, что BL=CM=A₁N=D₁P. Доказать, что ALMDNB₁C₁P параллелепипед.

Грань ВВ₁А₁А параллелограмм, значит ребро ВВ₁ равно и параллельно  ребру АА₁, но по условию отрезки BL и A₁N, значит равны и параллельны отрезки LB₁ и  NA.

3)Следовательно, четырехугольник LB₁NA по признаку параллелограмм.

4) Так как СС₁D₁D–параллелограмм, значит ребро СС₁ равно и параллельно ребру  D₁D,  а СМ равно D₁P по условию, значит равны и параллельны отрезки МС1и DP

Следовательно, что четырехугольник MC₁PD тоже параллелограмм.

5) Углы LB₁N и MC₁P равны как углы с соответственно параллельными и одинаково направленными сторонами.

6) Мы получили, что у параллелограммов   и MC₁PD  соответствующие стороны равны и углы между ними равны, значит параллелограммы равны.

7) Отрезки BL и CM   равны по условию, значит  BLMC- параллелограмм и сторона BC параллельна стороне LM параллельна стороне В₁С₁.

8) Аналогично из параллелограмма NA₁D₁P следует, что сторона A₁D₁ параллельна стороне NP и параллельна стороне AD.

9)Противоположные грани ABB₁A₁ и DCC₁D₁ параллелепипеда    по свойству параллельны, а отрезки параллельных прямых заключенных между параллельными плоскостями равны, значит отрезки В₁С₁, LM, AD,NP равны.

Получено, что в четырехугольниках ANPD, NB1C1P, LB1C1M, ALMD две стороны параллельны и равны , значит они параллелограммы. Тогда наша поверхность ALMDNB₁C₁P  состоит из шести  параллелограммов , два из которых равны, а по определению это параллелепипед.