Параллельные прямые, перпендикулярные к плоскости

Попробуем ответить на  вопрос: Когда прямая перпендикулярна плоскости. Для этого  рассмотрим модель параллелепипеда АВСDА₁В₁С₁D₁ в основании, которого лежит квадрат.

Например, попробуем найти прямую перпендикулярную плоскости АВСD. Рассмотрим прямую А₁В.

Очевидно, что угол между прямой А₁В и прямой АВ острый, а вот прямая ВС и прямая А₁В перпендикулярны, как стороны диагонального сечения А₁ВСD₁ . Заметим, что прямые АВ и ВС пересекаются.

Рассмотрим прямую С₁С . Прямая С₁С перпендикулярна прямой ВС.

Одновременно прямая С₁С перпендикулярна и прямой DС лежащей в плоскости А₁ВСD₁ . Заметим так же, что прямые DС и ВС пересекаются.

Рассмотрим еще один  вариант расположения прямых. Пусть диагонали основания пересекаются в точке О, и по свойству квадрата отрезок DО равен отрезку ОB. Прямая С₁О перпендикулярна прямой DВ по свойству равнобедренного треугольника DC₁В. Но С₁О не перпендикулярна прямой АС.

Какой же из вариантов определяет прямую перпендикулярную плоскости.

В геометрии прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости. 

Таким образом прямая А₁В не удовлетворяет условию, она  не перпендикулярна прямой АВ, лежащей в плоскости АВСD.

 Аналогично и с рисунком в). Прямая ОС₁ не перпендикулярна прямой АС, лежащей в плоскости АВСD.

А рисунок б) демонстрирует перпендикулярность прямой и плоскости.

На письме перпендикулярность прямой С₁С и плоскости АВСD так.

 На экране изображение и текст:

Когда прямая перпендикулярна плоскости?

На экране обновляется изображение с  анимацией плоскости и прямой.

Изображение обновляется с анимацией прямой и отметок углов.

На экране изображение с анимацией элементов

На экране текст :

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

На экране рисунок а) выделяется и исчезает.

На экране рисунок в) выделяется и исчезает.

На экране текст  и изображение:

Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

К изображению справа добавляется надпись

С₁С⊥(АВСD)

Помимо прямой С₁С к плоскости АВСD  в данном параллелепипеде перпендикулярны и рёбра А₁А, D₁D, В₁В.

Это можно доказать аналогично ребру С₁С. При этом они параллельны между собой.

На экране изображение

Связь прямых и плоскости сформулирована в двух  важных теоремах.  Докажем их.

Теорема 1. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой  плоскости.

Для доказательства рассмотрим две параллельные прямые a  и b , и плоскость α. Прямая а перпендикулярна плоскости α по условию.

Докажем, что прямая b перпендикулярна плоскости α.

1)Для доказательства проведём в плоскости α произвольную прямую с.

2)Так как прямая а у нас перпендикулярна плоскости α, то по определению она перпендикулярна произвольной прямой с лежащей в этой плоскости.

3)По теореме, доказанной на предыдущем уроке, если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна третьей прямой, то  и другая прямая перпендикулярна к этой прямой, т.е. прямые b и с перпендикулярны.

4)Аналогично можно доказать, что прямая b будет перпендикулярна любой другой прямой, лежащей в плоскости α.

Что доказывает перпендикулярность прямой b к любой прямой плоскости a, тогда по определению прямой перпендикулярной плоскости, прямая b перпендикулярна плоскости α.

На экране текст теоремы:

Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой  плоскости.

На экране изображение:

Добавляется текст :

Доказать: b⊥α

На экране изображение и текст постепенно обновляется, добавляется пункт 1):

На экране к решению добавляется пункт 2)

Дано: a∥b, α, a ⊥ α. Доказать: b⊥α Доказательство: проведем с, с∈α.

На экране добавляется последняя часть текста пункт 3)

На экране обновляется изображение с анимацией произвольных прямых..

К изображению и тексту добавляется пункт 4)

Для данного утверждения справедлива и обратная формулировка.

На экране текст:

Обратная теорема: Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

Достаточно интересно посмотреть применение данных теорем для решения задач.

Дан параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ c углом ВАD равным 90 градусов.

1)У нас угол ВАD равен 90 градусов, значит АВСD – прямоугольник.

2,3)Таким образом прямая DC перпендикулярна прямой ВС, и прямая DС перпендикулярна прямой СС₁, так как  боковые грани прямоугольного параллелепипеда прямоугольники.

4)Так как прямая DC перпендикулярна прямым ВС и С₁С плоскости В₁ВСС₁ , то по определению прямая DС перпендикулярна самой  плоскости В₁ВСС₁.

5)Прямая перпендикулярная плоскости, перпендикулярна любой прямой лежащей в этой плоскости. В данном случае прямая DC перпендикулярная прямой В₁С₁.

На экране текст задачи:

Задача. Дан прямоугольный параллелепипед АВСDА₁В₁С₁D₁ с                ВАD=90°.

Доказать, что DC В₁С₁.

На экране изображение и текст.

Доказательство на экране добавляется пунктом 1):

1. так как  ВАD=90°, то АВСD-прямоугольник.

Доказательство на экране добавляется пунктом 2) , 3)

1. DC ВС (по свойству прям-ка)
2. DC С₁С (по свойству прям-го парал-да)

Доказательство на экране добавляется пунктом 4)

Доказательство на экране добавляется пунктом 5)

Рассмотри ещё один пример применения терем к решению задач.

Нам дана плоскость α, отрезок АВ пересекает эту плоскость в точке О. Прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны к плоскости α, причём А₁ и В₁ лежат в плоскости. Известно, что АА₁ 4  см, а угол А₁АО =60° и отрезок В₁О относиться к отрезку А₁О как 1 к 2.

1)Прямая А₁В₁ лежит в плоскости  α,  так как две точки прямой уже лежат в плоскости.

2)Прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны к плоскости α,  тогда эти прямые перпендикулярна любой прямой лежащей в плоскости α, в частности прямой А₁В₁.

3)Тогда треугольники АА₁О и ОВ₁В прямоугольные.

4)В треугольнике угол АОА₁ равен 30°, по свойству треугольника с таким углом  катет АА₁ равен половине гипотенузы,  значит  отрезок АО равен 8 см.

5)В треугольниках АА₁О и ОВ₁В угол АА₁О равен углу ОВ₁В, угол А₁ОА равен углу ВОВ₁ по свойству  вертикальных углов, а стороны В₁О и ОА₁пропорциональны числам 1 и 2, значит треугольник АА₁О подобен треугольнику ОВ₁В по стороне и двум прилежащим к ней углам с коэффициентом подобия одна вторая.

6,7)Так как треугольники подобны, то ОВ относиться к стороне АО как 1 к 2. Получим, что сторона ОВ равна половине стороны АО и равна 4 см. А весь отрезок АВ состоящий из частей АО и ОВ равен 12 см.

На экране текст задачи:

Задача 2. Отрезок АВ пересекает плоскость α в точке О. Прямые АА₁ и ВВ₁ перпендикулярны плоскости α т пересекают её в точках А₁ и В₁ соответственно.

Найдите АВ, если А₁А= 4см, А₁АО =60°, В₁О: ОА₁ =1:2