Question

ABCA1B1C1- правильная треугольная призма. В треугольнике A1CB1 угол при вершине C равен β. Найдите площадь сечения призмы плоскостью, проходящей через середину BC и параллельно плоскости AB1C, если AC=2

Answer 1

Добрый день!

Для нахождения площади сечения призмы плоскостью , проходящей через середину bc и параллельно плоскости ab1c, нужно найти высоту сечения.

По условию ас = 2 , и так как треугольник а1сb1 - правильный, то его медиана ce будет равна половине высоты такого треугольника.

Так как угол при вершине с равен В (бета), то угол а1се( биссектриса треугольника а1сb1) равен В/2.

Чтобы найти медиану се, построим прямоугольный треугольник а1се: ас=2, се/2- медиана треугольника а1сb1, и угол а1се =В/2.

По теореме синусов :

sin (a1ce)=(ce/2)/ac

sin (B/2)=(ce/2)/2

ce/2=2*sin(B/2)

ce=4*sin(B/2).

Так как, прямоугольный треугольник а1се - прямоугольный, то:

sin (90\(\degree\)- B/2)=bc/ce

cos (B/2)=bc/ce

Так как середина bc делит его на две равные части, то bc/2=ce/2=2*sin(B/2)

Отсюда bc = 4*sin(B/2).

Теперь можем найти площадь сечения (S) призмы плоскостью, проходящей через середину bc и параллельно плоскости аb1c:

S=bc*ce

S=(4*sin(B/2))*(4*sin(B/2))

S=16*sin^2(B/2).