24. Последовательности

 

Будем выписывать в порядке возрастания положительные четные числа. Первое такое число равно двум, второе четырем, третье шести, четвертое восьми и так далее. Получим последовательность два, четыре, шесть, восемь….

 

Ясно, что на пятом месте этой последовательности будет число десять, на десятом – число двадцать, на сотом – число двести. Вообще для любого натурального числа эн можно указать соответствующее ему положительное четное число; оно будет равно два эн.

Рассмотрим еще одну последовательность. Будем выписывать в порядке убывания правильные дроби с числителем, равным одному: одна вторая, одна третья, одна четвертая, одна пятая, одна шестая…

Для любого натурального числа эн мы можем указать соответствующую дробь, стоящую в этой последовательности на энном месте; она равна единице, деленной на сумму эн и один. Так на шестом месте должна стоять дробь одна седьмая, на двадцатом – дробь одна двадцать первая, на сотом – дробь одна сто первая.

Числа, образующие последовательность, называются членами последовательности. Члены последовательности обычно обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена, например, а первое, а второе, а третье и так далее. Вообще член последовательности с номером эн, или энный член последовательности, обозначают так…. Саму последовательность обозначают следующим образом ….

В рассмотренных примерах мы имели дело с последовательностями, содержащими бесконечно много членов. Такие последовательности называются бесконечными.

Заметим, что последовательность может содержать конечное число членов. В таком случае ее называют конечной. Например, конечной является последовательность чисел двадцать, двадцать один, двадцать два и так далее.. восемьдесят восемь, восемьдесят девять.

Чтобы задать последовательность, надо указать способ, который позволяет найти член последовательности с любым номером.

Часто последовательности задают с помощью формулы энного члена последовательности. Например, последовательность положительных четных чисел можно задать формулой а энное равно два эн, последовательность правильных дробей с числителем, равным один – формулой бэ энное равно один, деленное на сумму эн и один. Приведем другие примеры.

Первый пример. Пусть последовательность задана формулой игрек энное равно эн квадрат минус два эн. Подставляя вместо эн натуральные числа один, два, три, четыре и так далее, получаем… игрек первое равно минус один, игрек второе равно нулю, игрек третье равно трем, игрек четвертое равно восьми…

Рассматриваемая последовательность равна минус один, ноль, три,  восемь…

Пример второй. Пусть последовательность задана формулой икс энное равно минус один в степени эн умноженное на сто.

Все члены этой последовательности с нечетными номерами равны минус сто, а с четными номерами равны сто.

Получаем последовательность минус сто, сто, минус сто, сто…

Пример третий. Формулой це энное равно четыре задается последовательность, все члены которой равны четырем.

Рассмотрим еще один способ задания последовательности. Он состоит в том, что указывают ее первый член или первые несколько членов и формулу, которая выражает любой член последовательности, начиная с некоторого, через предыдущие. Такая формула называется рекуррентной, а соответствующий способ задания последовательности – рекуррентным способом.

Приведем пример задания последовательности рекуррентным способом.

Пусть дана последовательность У энное – последовательность, в которой У первое равно единице, У второе равно один, У с индексом эн плюс один равно У энное плюс У с индексом эн минус один при эн большим два.

Выпишем первые несколько ее членов: Один, один, два, три, пять, восемь, тринадцать…

Эта последовательность описана в работах итальянского математика Леонардо де Пизы, известного под именем Леонардо Фибоначчи. Члены этой последовательности называют числами Фибоначчи.