Формула суммы первых n-членов геометрической прогрессии

Согласно легенде, индийский принц решил наградить изобретателя шахмат и предложил ему самому выбрать награду. Изобретатель шахмат попросил в награду за свое изобретение столько зерен, сколько их получится, если на первую клетку шахматной доски положить одно зерно, на вторую – в два раза больше, то есть два зерна, на третью – еще в два раза больше, то есть четыре зерна, и так далее до шестидесяти четвертой клетки. Каково же было удивление принца, когда он узнал, что такую, казалось бы, скромную просьбу невозможно выполнить.

Действительно, число зерен, о которых идет речь, является суммой шестидесяти четырех членов геометрической прогрессии, первый член которой равен единице, а знаменатель равен двум. Обозначим эту сумму через эс: эс равно один плюс два плюс два квадрат плюс два куб и так далее.. плюс два в шестьдесят третьей степени.

Умножим обе части записанного равенства на знаменатель прогрессии, получим следующее выражение…

Вычтем почленно из второго равенства первое и проведем упрощения…..

Получим, что эс равно два в шестьдесят четвертой степени.. минус один.

Можно подсчитать, что масса такого числа пшеничных зерен больше триллиона тонн. Это заведомо превосходит количество пшеницы, собранной человечеством до настоящего времени.

Выведем теперь формулу суммы первых эн членов произвольной геометрической прогрессии. Воспользуемся тем же приемом, с помощью которого была вычислена сумма эс.

Пусть дана геометрическая прогрессия бэ энное. Обозначим сумму первых ее членов через эс энное..

Умножим обе части этого равенства на ку…

Учитывая, что бэ первое умноженное на ку равно бэ второму, бэ второе умноженное на ку равно бэ третьему, бэ третье умноженное на ку равно бэ четвертому и так далее, бэ с индексом эн минус один умноженное на ку равно бэ энному, получим что эс энное умноженное на ку равно сумме бэ второго, бэ третьего, бэ четвертого, бэ энного и бэ энного ку.

Вычтем почленно из последнего равенства сумму эн ее членов…..

Получим равенство: произведение эс энного на разность ку и один равно разности произведения бэ энного на ку и бэ первого.

Отсюда следует, что при ку не равном единице, сумма эн членов геометрической прогрессии задается следующей формулой…

Мы получили формулу суммы первых эн членов геометрической прогрессии, в которой ку не равно единице. Если ку равно единице, то все члены прогрессии равны первому члену и сумма эн членов равна эн умноженному на бэ первое.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы первых эн членов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в формулу суммы первых эн членов геометрической прогрессии вместо бэ энного выражение бэ первое умноженное на ку степени эн минус один. Получим формулу следующего вида…

Пример первый. Найдем сумму первых девяти членов геометрической прогрессии, в которой бэ первое равно двум, ку равно одной второй.

Так как известны первый член и знаменатель прогрессии, то удобно пользоваться второй формулой нахождения суммы. Подставив в нее данные, получим, три целые сто двадцать семь сто двадцать восьмых.

Пример второй. Найдем сумму один плюс икс плюс икс квадрат и так далее плюс икс степени эн минус один, где икс не равен единице, слагаемые которой являются членами геометрической прогрессии один, икс, икс квадрат и так далее…

Первый член прогрессии равен единице, а знаменатель равен икс. Так как икс степени эн минус один является членом этой прогрессии с номером эн, то задача состоит в нахождении суммы первых эн ее членов. Воспользуемся первой формулой для нахождения суммы. Подставим в нее исходные данные и получим сумму, равную отношению разности икс степени эн.. и один к разности икс и один.

Пример третий. Найдем сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, если известно, что третий член прогрессии равен восьми, а пятый член прогрессии равен тридцати двум.

Зная третий и пятый члены прогрессии, можно найти знаменатель прогрессии. Так пятый член прогрессии будет равен произведению третьего члена прогрессии и квадрата знаменателя прогрессии, то квадрат знаменателя прогрессии будет равен четырем, значит, знаменатель равен двум или минус двум.

Таким образом, существуют две прогрессии, удовлетворяющие условию задачи.

Если ку равно минус двум, то первый член будет равен двум и сумма прогрессии будет равна пятистам десяти.

Если ку равно минус двум, то первый член равен двум, а сумма будет равна минус ста семидесяти.