9. Корень энной степени

 

Квадратным корнем из числа а называется такое число, квадрат которого равен а.

Аналогично определяется корень любой натуральной степени а: Корнем энной степени из числа а называется такое число, энная степень которого равна а.

Например, корнем пятой степени числа двести сорок три является число три, так как три в пятой степени равно двести сорок три. Корнем шестой степени числа шестьдесят четыре являются числа два и минус два, так как два в четвертой степени равно шестьдесят четыре и минус два в четвертой степени равно шестьдесят четыре. Корень второй степени называют квадратным корнем, корень третьей степени – кубическим корнем.

Рассмотрим степенную функцию игрек равно икс в энной степени с нечетным показателем эн. Для любого числа а существует единственное значение икс, энная степень которого равна а. Это значение является корнем энной степени из а. Для записи корня нечетной степени эн используют следующее обозначение…. Число эн называют показателем корня; выражение, стоящее под знаком корня – подкоренным выражением.

Приведем примеры.

Первая запись обозначает кубический корень из двадцати семи. Он равен трем, так как три в кубе равно двадцать семь.  Вторая запись означает корень девятой степени из минус пятисот двенадцати. Так как минус пятьсот двенадцать равно минус два в девятой степени, то корень девятой степени из минус пятисот двенадцати равен минус двум.

Рассмотрим теперь степенную функцию игрек равно икс в энной степени с четным показателем эн. Если а больше нуля, существуют два противоположных значения икс, энная степень которых равна а. Если а равно нулю, такое число одно – ноль.  Если а меньше нуля, то таких чисел нет.  Таким образом, если эн – четное и а больше нуля, то существуют два корня энной степени, причем они являются противоположными числами; если а равно нулю, то корень энной степени из а равен нулю. Если а меньше нуля и эн – четное число, то корня энной степени из а не существует.

Неотрицательный корень энной степени из а записывают следующим образом…Отрицательный корень энной степени из а обозначается так…  Запись корня энной степени из числа а, где эн четное, а - отрицательное, не имеет смысла.

Рассмотрим еще несколько записей. Первая запись означает неотрицательный корень четвертой степени из шестнадцати.  Корень четвертой степени из шестнадцати равен двум, так как два – неотрицательное число и два в четвертой степени равно шестнадцати.

Если эн равно двум, то показатель корня не пишется...

Итак, если эн – нечетное число, то выражение корень энной степени из числа а имеет смысл при любом а; если эн – четное число, то выражение корень энной степени из числа а имеет смысл лишь при а большем либо равном нулю.

Из определения корня энной степени следует, что при всех значениях а, при которых выражение корень энной степени из а имеет смысл, верно равенство корень энной степени из а.. в энной степени равен а.

Выражение корень энной степени из числа а при а большем либо равном нулю не имеет смысла как при четном, так и при нечетном эн; значение этого выражения является неотрицательным числом. Его называют арифметическим корнем энной степени из а.

Арифметическим корнем энной степени из неотрицательного числа а называется неотрицательное число, энная степень которого равна а.

Корень нечетной степени из отрицательного числа можно выразить через арифметический корень. Например, корень пятой степени из минус тридцати двух равен минус.. корень пятой степени из тридцати двух, так как корень пятой степени из минус тридцати двух равен минус два.. и минус корень пятой степени из тридцати двух равен минус два.

Таким образом, при любом нечетном эн и положительном а .. верно равенство корень энной степени из минус а равен минус корень энной степени из числа а.

Для нахождения с помощью калькулятора приближенного значения квадратного корня используется специальная клавиша… Для корней энной степени, где эн больше двух, подобных клавиш нет. При нахождении корня энной степени из положительного числа а используется принятое в математике представление выражения корень энной степени из числа а, где а больше нуля, в виде степени числа а с дробным показателем. По определению, если а больше нуля и эн – натуральное число, большее единицы, считают, что корень энной степени из а равен а в степени единица деленная на эн.

Корень энной степени из положительного числа находят с помощью калькулятора используя следующие клавиши……первая из которых обозначает степень, а вторая – число, обратное икс.

Программа вычисления корня энной степени из положительного числа выглядит следующим образом……

Чтобы найти корень пятой степени из числа девять нужно выполнить следующую последовательность действий……

В результате получилась бесконечная десятичная дробь.

Чтобы с помощью калькулятора найти значение выражения корень седьмой степени из минус семидесяти с точностью до одной тысячной, найдем сначала корень седьмой степени из семидесяти.

Округляя результат до одной тысячной, получим, что корень седьмой степени из семидесяти равен одной целой восьмистам тридцати пяти тысячным.  Отсюда находим, что корень седьмой степени из минус семидесяти равен минус корень седьмой степени из семидесяти и приблизительно равен минус одной целой восьмистам тридцати пяти тысячным.