Перпендикулярные прямые в пространстве

Перпендикулярные прямые в пространстве

Две прямые,  лежащие в одной плоскости  образуют четыре неразвёрнутых угла  острый угол α называется углом между пересекающимися прямыми a и b	На экране изображение  с постепенным появлением отметок углов и обозначением На фоне рисунка появляется надпись a^b=α, где 0° <α≤90°
Рассмотри известную нам фигуру параллелепипед Все его грани являются  прямоугольниками, что доказывает что угол между прямыми  АА1  и АВ равен 90 градусов. Такие прямые в пространстве называются перпендикулярными или взаимно перпендикулярными.	На экране изображение На экране выделяются прямые АА1 и АВ На экране определение: Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если угол между ними 90°.
Таким образом,  на данном рисунке DD1 и D1C1 взаимно перпендикулярные прямые. Перпендикулярность прямых DD1 и D1C1 обозначается так.	На  экране изображение   На экране изображение
Рассмотрим модель куба. Известно, что его грани это квадраты, следовательно, прямые AA1 , АD  перпендикулярные прямые. Справедливы и другие  утверждения: Прямая DD1 перпендикулярна прямой АD. Прямая АА1 параллельна прямой DD1. Совсем не случайно каждая из двух параллельных прямых оказалась перпендикулярна прямой АD.	На экране изображение  (желательно анимировать проговариваемые прямые одновременно): На экране обновляется изображение с анимацией.
Данная конфигурация рисунка соответствуют известной в геометрии  лемме о перпендикулярности двух параллельных прямых к третьей прямой. Докажем её. Рассмотрим параллельные прямые а и b  перпендикулярные прямые  а и c. Докажем, что прямая b перпендикулярна прямой с. Для доказательства через произвольную точку пространства проведем прямые МА и МС, такие,  что прямая    МА параллельна прямой а и прямая МС параллельна прямой с. Так как прямые а и с перпендикулярны, то угол АМС равен 90 градусов. Так как прямая b параллельна прямой а по условию, а прямая а параллельна прямой МА по построению, следовательно, прямая b параллельна прямой МА. Итак, прямая b параллельна прямой МА, а прямая с параллельна прямой МС.  Прямые МА и МС взаимно перпендикулярные прямые, следовательно, прямая b перпендикулярна  прямой с. Лемма доказана.	На экране текст: Лемма: Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой. На экране изображение и текст:
Доказанная лемма упрощает решение задач и доказательство  теорем. Рассмотрим один из примеров.
В тетраэдре МАВС ребра МА и ВС перпендикулярны, Р - точка ребра АВ, причём АР относится к АВ как 2 к 3. Q-точка ребра АС, причём АQ относиться к QC, как 2 к 1. Доказать, что прямая АМ перпендикулярна прямой PQ. Для доказательства рассмотрим два треугольника APQ и АВС с общим углом А. Так как Точка Q делит сторону АC в отношении 2 к 1, то сторона АQ треугольника АРQ составляет     стороны АС треугольника АВС. Таким образом в треугольниках  АРQ и    АВС  сторона АР относиться стороне АВ как 2 к 3, сторона АQ относиться к стороне АС как 2 к 3 и угол А у них общий, значит треугольник APQ  подобен треугольнику АВС . Из подобия треугольников следует равенство соответственных углов APQ и АВС, АQР и АСВ, это доказывает параллельность прямых РQ и ВС. Итак прямая АМ перпендикулярна прямой ВС, а прямая PQ параллельна прямой ВС, тогда согласно доказанной лемме АМ перпендикулярна прямой PQ.	На экране изображение и

Комментарий: сценарий написан очень хорошо подробно разобрано задание, профессионально разобраны этапы доказательства леммы и задачи.