Многогранный угол

Многогранный угол

В планиметрии одним из объектов изучения является  угол.

Угол – это геометрическая фигура, состоящая из точки – вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.

Два  угла одна сторона, которых общая и две другие являются продолжением одна другой, в планиметрии называются смежными.

Циркуль можно рассматривать как модель плоского угла.

Вспомним понятие двухгранного угла.

Это фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости в геометрии называется двугранным углом. Полуплоскости – это грани двугранного угла. Прямая а – это ребро двугранного угла.

Крыша дома наглядно демонстрирует двухгранный угол.

Но крыша дома на рисунке два  выполнена в виде фигуры образованной из шести плоских углов с общей вершиной так, что углы берутся в определенном порядке и каждая пара соседних углов, включая первый и последний, имеет общую сторону. Как называется такая форма крыши?

На экране изображение и текст:

Угол

Фигура, состоящая из точки – вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.

На экране изображение:

Угол LOM и угол  MON – смежные.

На экране изображение

Угол

Фигура, состоящая из точки – вершины угла и двух лучей, исходящих из этой точки.

На экране изображение

Двугранный угол

прямая а –ребро угла

Фигура, образованная прямой а и двумя полуплоскостями с общей границей а,  не принадлежащие одной плоскости.

В геометрии фигура, составленная из углов

А1ОА2, А2ОА3 и так далее АnОА1 и их внутренних областей так, что смежные не лежат в одной плоскости, а не смежные углы (с их внутренними областями) не имеют общих точек называется многогранный угол ОА₁А₂ А₃…А_n.

А углы из которых составлен этот угол называются плоскими углами. Стороны плоских углов называются ребрами многогранного угла. Точка О называется вершиной угла.

Примеры многогранных углов можно найти в тетраэдре и параллелепипеде.

Грани тетраэдра DBA, ABC, DBC образуют многогранный угол ВADC. Чаще он называется трёхгранным углом.

В параллелепипеде  грани АА₁D₁D, ABCD, AA₁B₁B образую трехгранный угол AA₁DB.

Ну а крыша дома выполнена в форме шестигранного угла. Она  состоит из шести плоских углов.

На экране изображение:

ОА₁А₂ А₃…А_n – многогранный угол

 

На экране изображение:

Для многогранного угла справедлив ряд свойств. Сформулируем их и докажем. Здесь говорится, что утверждение

Во–первых, для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.

Рассмотри для доказательства многогранный угол ОА₁А₂ А₃…Аn.

По условию он выпуклый. Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

Так как по условию этот угол выпуклый, то точки О, А₁, А₂ ,А₃, Аn лежат по одну сторону от плоскости ОА₁А₂

Проведем среднюю линию KM треугольника ОА₁А₂  и выберем из ребер ОА₃, ОА₄, ОА_n  то ребро  которое образует с плоскостью ОКМ, наименьший двугранный угол. Пусть это будет ребро  ОА_i.(оа итое)

Рассмотрим полуплоскость α с границей  КМ, делящую двугранный угол ОКМА_i на два двухгранных угла. Все вершины от А до Аn лежат по одну сторону от плоскости α, а точка О по другую сторону. Следовательно, плоскость α пересекает все ребра многогранного угла. Утверждение доказано.

На экране текст:

Для любого выпуклого многогранного угла существует плоскость, пересекающая все его рёбра.

На экране изображение:

Ткст:

Угол называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от плоскости каждого из своих плоских углов.

На экране обновляется изображение

На экране изображение: