Пирамида

Мы продолжаем знакомство с многогранниками. Вы уже знаете, что призмой называется многогранник, основания которого лежат на параллельных плоскостях, а боковые грани представляют собой параллелограммы.

(выделенным словам желательно сопоставлять анимацию из чертежа)

Мысленно соединим вершины основания призмы  с какой-либо точкой Р, принадлежащей другому основанию.

Мы получили новый вид многогранника, который называется пирамидой.

Итак, многогранник составленный из к- треугольников и к-угольника, называется пирамидой. Причём, многоугольник ABCDEF называется основанием, точка Р-вершиной,  а треугольники, образованные отрезками РА, РВ, РС,РD, РЕ, РF-боковыми гранями, соответственно сами отрезки называются  боковыми рёбрами.

Принято называть пирамиду, начиная с вершины- так, наша пирамида называется РABCDEF.

Очевидно, что треугольная пирамида-это тетраэдр.

Так же существуют пирамиды, в основаниях которых лежат четырёхугольники,  пятиугольники , а так же другие многоугольники.

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, опущенный из её вершины к основанию.

В пирамидах SABCD   и  SABCDE высотой является отрезок SO.

                                Р

Многоугольник ABCDEF-основание.

Точка Р-вершина.

Треугольники РАВ, РВС, РСD,…и др.-боковые грани.

Отрезки РА, РВ,РС,…-боковые рёбра.

РABCDEF-пирамида.

SO-высота.

Сумма площадей боковых граней пирамиды называется площадью её боковой поверхности, соответственно сумма площадей всех её граней (и основания и боковых граней), называется площадью полной поверхности пирамиды.

S_полн.= S_осн+ S_бок

А сейчас решим задачу, применяя полученные новые знания.

Задача 1.

Основанием пирамиды является параллелограмм, стороны которого равны 20 см и 36 см, его площадь равна 360 см².Найти площадь боковой поверхности пирамиды, если  её высота проходит через точку пересечения диагоналей и равна 12 см.

Прежде чем приступить к нахождению площади боковой поверхности данной пирамиды, подумайте, можно ли сразу решить эту задачу? (пауза).

 Вы уже знаете, что площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковых граней. Поэтому нам необходимо найти площади четырех треугольников: АВР, ВРС,ДРС и АРД.

Решение:

1.Рассмотрим треугольники АВР и ДРС: АВ=ДС как противоположные стороны параллелограмма АВСД.

 ВН и НД являются проекциями сторон ВР и РД на плоскость АВСД, вместе с тем ВН = НД, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Из данного равенства мы можем сделать вывод, что РД=РВ (если проекции, проведённые из одной точки равны, то и наклонные равны).Аналогично доказывается равенство сторон АР и РС. Исходя из доказанного делаем вывод: Треугольники АВР и ДРС имеют по три равных стороны, следовательно они равны по третьему признаку равенства треугольников.

2. Рассмотрим треугольники ВРС и АРД: ВС=АД как противоположные стороны параллелограмма АВСД.

 ВН и НД являются проекциями сторон ВР и РД на плоскость АВСД, вместе с тем ВН = НД, так как диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам. Из данного равенства мы можем сделать вывод, что РД=РВ (если проекции, проведённые из одной точки равны, то и наклонные равны).Аналогично доказывается равенство сторон АР и РС. Исходя из доказанного делаем вывод: Треугольники ВРС и АРД имеют по три равных стороны, следовательно они равны по третьему признаку равенства треугольников.

Теперь нам достаточно определить лишь площади треугольников APD и  DPC.Найдём эти площади.

3.Дополнительное построение: проведём HQ перпендикулярно CD  и HM перпендикулярно AD.

По теореме о трёх перпендикулярах PQ перпендикулярен CD и  PM перпендикулярен AD.

Затем достроим отрезок HQ до пересечения со стороной АВ-получим точку Ф.

Точно так же продолжим отрезок МН до пересечения со стороной ВС-получим точку К.

Таким образом мы получили две высоты параллелограмма АВСД: FQ и MK.Зная площадь этого параллелограмма и его основания мы можем найти эти высоты.

4. Отрезок  МН равен половине высоты МК:

МН=1/2 МК=1/2 *10=5 см

Отрезок HQ равен половине высоты FQ:

HQ=1/2  FQ=1/2 *18=9 см

5.Найдем площадь треугольника АРД как половину произведения АД и РМ.

S_APD=1/2AD*PM=1/2*36*13=234см²

РМ в свою очередь найдем из прямоугольного треугольника РНМ по теореме Пифагора: PM=√PH²+MН²=√12²+5²=√144+25 =√169=13 см
 

6.Аналогичным образом найдём площадь треугольника  ДРС:

S_DPC=1/2PQ*DC=1/2*15*20=150см²

Длину PQ найдем из прямоугольного треугольника PHQ

По теореме Пифагора:

PQ=√PH²+HQ²=√12²+9²=√144+81=√225=15см

7.Теперь мы можем приступить к нахождению боковой площади пирамиды РABCD:

S_бок=S_APD+S_ABP+S_BPC+S_DPC

Ранее мы доказали ,что треугольники АВР и ДРС, а так же треугольники ВРС и АРД равны, поэтому

S_бок =2(S_APD+ S_DPC)=2(234+150)=2*384=768см²

Дано: РABCD-пирамида, ABCD-параллелограмм, АВ=20 см, AD=36 см, S_ABCD=360 cм², Н-середина диагоналей АС и ВD, РН-высота, РН=12 см.

Найти: S_бок

Решение:

1.AB=DC(стороны параллелограмма), PD=PB (ВН и НД проекциями ВР и РД, ВН = НД-диагонали),

AP=PC (АН и СН проекциями АР и СР, АН = СН-диагонали) 

ΔABP=ΔDPC(по третьему признаку равенства треугольников)

2. ВС=АД (стороны параллелограмма), РД=РВ (ВН и НД проекциями ВР и РД, ВН = НД-диагонали),

АР и РС (АН и СН проекциями АР и СР, АН = СН-диагонали) 

ΔBPC=ΔAPD(по третьему признаку равенства треугольников).

3.Д.п.  HQ ┴ CD  и     HM ┴ AD→

PQ┴CD   PM┴AD ( по т.т.п.)

 FQ и MK-высоты параллелограмма ABCD

5. S_APD=1/2AD*PM=1/2*36*13=234см²

По теореме Пифагора:

PM=√PH²+MН²=√12²+5²=√144+25 =√169=13 см

6. S_DPC=1/2 PQ*DC==1/2 *15*20=150см²

По теореме Пифагора:

PQ=√PH²+HQ²=√12²+9²=√144+81=√225=15см

7. S_бок=S_APD+S_ABP+S_BPC+S_DPC →

S_бок=2(S_APD+ S_DPC)=2(234+150)= =2*384=768см²

Ответ: S_бок=768см²