Понятие многогранника

На прошлых занятиях вы познакомились  с такими понятиями, как тетраэдр (поверхность, составленная из треугольников) и параллелепипед(поверхность, составленная из шести параллелограммов).

Сегодня мы расширим свои знания по теме «многогранник», а так же познакомимся с его элементами.

Тетраэдр  

    Параллелепипед

(желательна анимация-увеличение фигур в объёме, которая будет произведена параллельно определениям)

Многогранником называется поверхность, которая составлена из многоугольников и ограничивает некоторое геометрическое тело.

Это геометрическое тело так же принято называть многогранником.

Тетраэдр и параллелепипед, о которых говорилось ранее, являются примерами многогранников.

 Многоугольники, которыми ограничен многогранник, называются гранями.

Сторона каждой грани называется ребром, а конец каждого ребра – это вершина.

Отрезок, соединяющий две не соседние вершины одной грани, называется диагональю грани, соответственно отрезок , соединяющий две вершины не принадлежащие одной грани называется диагональю многогранника.

(Каждому выделенному слову нужно сопоставить анимированный элемент из данного рисунка, лучше выделить соседние и не соседние вершины жирными точками, и каждую вершину назвать латинской заглавной буквой).

Многогранники подразделяют на выпуклые и невыпуклые.

Многогранник выпуклый, если он весь расположен  по одну сторону от каждой его грани.

Очевидно, что грань выпуклого многогранника есть выпуклый многоугольник.

Выпуклый многогранник.

Невыпуклый многогранник (плоскостью поделен на две части)

(Выделенному слову сопоставлять рисунок)

Рассмотрим многогранный угол, принадлежащий какому-либо многограннику (в данном случае тетраэдру) и мысленно «разрежем» его вдоль каждой грани по ребрам при вершине.

Очевидно, что сумма углов фи1, фи2, фи3 меньше 360 градусов.

Таким образом с помощью развёртки тетраэдра мы доказали, что в выпуклом многограннике сумма всех плоских углов при любой его вершине всегда меньше 360 градусов.

Рассмотрим применение доказанного выше утверждения на примере прямоугольного параллелепипеда.

Известно, что общую вершину имеют три угла.

Каждый из этих углов равен 90 градусов. (потому что гранями являются прямоугольниками)

Итак,  плоские углы, принадлежащие одной вершине прямоугольного параллелепипеда, дают в сумме 270 градусов.

90⁰+90⁰+90⁰=270⁰<360⁰

Многогранник называется правильным, если его грани правильные многоугольники (т.е. такие, у которых все стороны и углы равны) и все многогранные углы при вершинах равны.

Существует пять видов правильных многогранников: тетраэдр, куб, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.

Теперь применим новые знания к решению задач.

Задача 1.

В прямоугольном параллелепипеде стороны основания равны 12 см и 5 см.Известно, что диагональ параллелепипеда образует с плоскостью основания угол в 45 градусов. Найти боковое ребро параллелепипеда.

Решение:

1. Отрезок  СС₁ перпендикулярен плоскости (АВС), а значит отрезок  АС перпендикулярен отрезку СС_1, поэтому  проекцией АС₁ на плоскость (АВС) является АС. Отсюда следует, что  углом между диагональю АС₁ и плоскостью (АВС) является угол САС₁, который по условию равен 45 градусов.

2.Рассмотрим треугольник АСС₁: угол САС₁ прямой, угол САС₁ равен 45 градусов. Известно, что сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов, значит угол СС₁А  так же равен 45 градусам.

 Исходя из этого можно сделать вывод, что треугольник АСС₁ прямоугольный и равнобедренный, поэтому отрезок АС равен отрезку СС₁

3.В параллелепипеде противоположные рёбра равны, значит искомое  ребро  ВВ₁ равно ребру  СС₁, которое в свою очередь равно отрезку АС.

Из треугольника АВС по теореме Пифагора найдем

АС=ВВ ₁=13 см

Ответ: ВВ₁=13 см.

Задача 2.

Основанием прямого параллелепипеда является ромб,   диагонали  которого равны 10 и 24 см.Найти большую диагональ параллелепипеда, если известно, что высота его равна 10 см.

Решение:

1.В ромбе АВСD большей диагональю является АС, которая в свою очередь является проекцией диагонали А₁С параллелепипеда (чем больше проекция, тем больше её наклонная.), значит диагональ А₁С  искомая.

2. Треугольник АА₁С прямоугольный, так как А₁ А перпендикулярна плоскости (АСД).По теореме Пифагора найдем А₁ С=√АС²+СС₁²=√24²+10²=√676=26 см.

Ответ: А1С=26 см.

Дано: АВСDA ₁B₁ C₁ D₁-прямой параллелепипед, АВСD-ромб, АС=24 см, ВD=10 см, АА₁=10 см.

Найти: большую диагональ АВСDА₁ В₁ С₁ D₁.

Решение:

1.А₁С – большая диагональ.

2.ΔАА₁С – прямоугольный.

По теореме Пифагора

А₁С=√АС²+СС₁²=√24²+10²=√676=26 см.

Ответ: А1С=26 см.