Правильная пирамида

На прошлых занятиях вы уже познакомились с некоторыми видами многогранников -призмой и пирамидой.

Напомню, что многоугольник правильный, если его стороны равны и углы так же равны, а центр его лежит в центре вписанной или описанной окружности .

Поэтому пирамида называется  правильной, если в её основании лежит правильный многоугольник.

Высотой правильной пирамиды называется отрезок, соединяющий центр основания с вершиной.

Если ABCDE –правильный пятиугольник, то    SABCDE-правильная пирамида.

SO-высота.

SO┴( ABCDE)

Рассмотрим правильную пирамиду PA₁A₂…A_n:

Любое боковое ребро (например А₁Р) представляет собой гипотенузу прямоугольного треугольника (в нашем случае ΔА₁РО), в котором катетами являются высота РО и радиус описанной окружности R. Выразим гипотенузу по теореме Пифагора: А₁Р=. Аналогично можно выразить любое боковое ребро, таким образом мы доказали, что все боковые рёбра правильной пирамиды равны.

Исходя из вышеизложенного, очевидно, что боковые грани правильной пирамиды –равнобедренные треугольники. Так как в основании пирамиды лежит правильный многоугольник A₁A₂…A_n (а один, а два и так далее а энное), то основания всех треугольников будут равны, значит можно сделать вывод о том, что все боковые грани равны по третьему признаку равенства треугольников. Мы доказали, что боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

Пирамида PA₁A₂…A_n-правильная

А₁Р-боковое ребро

ΔА₁РО-прямоугольный треугольник:

А₁Р-гипотенуза

А₁О= R-катет

РН=h-катет

По теореме Пифагора: А₁Р=

→ А₁Р= А₂Р=…= А_nР

A₁A₂… A_n-правильный многоугольник→

A₁A₂=А₂А₃=…=А_n-1A_n →

ΔPA₁A₂=ΔPА₂А₃=…=ΔPА_n-1A_n

Проведём высоту в боковой грани SDC, отрезок

SF называется апофемой.

Очевидно, что все апофемы правильной пирамиды равны, а так же все двугранные углы при основании равны.

Так как в правильной пирамиде боковые грани равны и являются равнобедренными треугольниками, то получаем в пирамиде SABCDE, грани SAB, SBC, SCD, SDE, SAE, являются равнобедренными треугольниками которые равны, тогда высоты проведенные из вершин равнобедренных треугольников (то есть апофемы пирамиды) равны.

Рассмотрим треугольники SОМ и SОF они прямоугольные, так как SO–высота пирамиды, то есть перпендикулярна к основанию АВС,

Данные треугольники SОМ и SОF равны по гипотенузе и катету, из равенства треугольников получаем равенство углов SMO и SFO.

А данные углы являются линейные углами для двугранных углов SAEO и SCDO, тогда данные двугранные углы равны, аналогично рассматривая пары других двугранных углов, докажем что они равны.

SF-апофема (высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины).

Все апофемы правильной пирамиды равны, а так же все двугранные углы при основании равны.

Доказательство:

 SABCDE– пирамида,

SAB, SBC, SCD, SDE, SAE–бок.грани,

SAB, SBC, SCD, SDE, SAE –равноб. тр-ки,

ΔSAB=ΔSBC=ΔSCD=ΔSDE=ΔSAE высоты (апофемы пирамиды) равны.

 ΔSОМ и ΔSОF–прямоугольные (SO–высота пирамиды),

ΔSОМ=ΔSОF (по гипотенузе и катету) (SO–общая, SM=SF–апофемы пирамиды)

 SMO=SFO,

Получаем двугранные углы SAEO=SCDO, т.к. SMO, SFO– линейные углы.

Найдем площадь боковой поверхности правильной пирамиды.

Выше мы уже доказали, что боковые грани правильной пирамиды –это равные равнобедренные треугольники, основания которых-стороны основания пирамиды, а высоты–это апофемы. Площадь S боковой поверхности равна сумме боковых граней. Где площадь каждой боковой грани равна половине произведения основания на апофему. Вынесем  общий множитель 1/2d  за скобку, в скобках останется сумма сторон основания пирамиды, а это есть периметр основания.

Таким образом мы доказали теорему о том, что площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения апофемы на периметр основания.

             F_n

АВ=ВС= CD=DE= EA-основания

F= F₁=…=F_n=d-апофемы

S_бок=1/2d(АВ+ВС+ CD+DE+ EA)=1/2 d*P

Разберём несколько задач, применяя полученные знания.

Задача 1. (№257 учебника Атанасян 10-11 класс)

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в 60є с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

Решение.

1. Для того что бы найти площадь полной поверхности пирамиды нам необходимо вычислить площади всех боковых граней и её основания

2.SABC-правильная пирамида  значит точка О-это центр квадрата АВСД.

Рассмотрим треугольник АSO (а эс о), он прямоугольный так как, СО высота пирамиды, угол меду боковым ребром и основание равен 60є, т.е. угол SAO равен 60є, а угол ASO  равен 90є минус 60є равен 30є, следовательно получаем АО равно половине SA и равно 6 см., как катет лежащий против угла в 30 градусов.

3. треугольник ABO равнобедренный прямоугольный, так как диагонали квадрата перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам, боковые стороны треугольника равны 6 см . Тогда применяя теорему Пифагора найдем гипотенузу треугольника АВ равно корню квадратному из суммы квадратов катетов и равно 6корней из 2двух см.

Зная сторону квадрата найдем площадь и периметр основания площадь равна квадрату стороны и равно 72 квадратных см.

Периметр равен 4 умножить на длину стороны и равен двадцать четыре корней из двух.

4. Найдем апофему пирамиды SH из прямоугольного треугольника ABO,

AH равна половине стороны квадрата т.е. равна шесть корней из двух см.

Найдем катет SH по теореме Пифагора равного корню квадратному из разности квадратов гипотенузы SA и катета AH, получаем SH ревен шесть корней из шести см.Вычислим площадь боковой поверхности как половина произведения половины апофемы на периметр получаем 144корней из трех кв.см.

5. Вычисляем площадь поверхности пирамиды она равна 72умножить на на сумму одного и двух коней из трех кв. см.

Дано: SABCD- правильная пирамида 

SA=12 см,  угол SA и (ABC)=60є

Найти: S_{поверх.}

Решение:

1) S_{поверх.}= S_осн. + S_бок. =AВ²  + 1/2SH·Р,

P – периметр основания,

SH – апофема,

AD – ребро основания

2) ASO: SO(ABC), т.е. SAO = 60є, т.е. ASO =90є–SAO =90є–60є= =30єAO=1/2SA=6см.

3) ABO – равнобедренный прямоугольный, т.к. BDAC, BO=AO= 6см (диагонали квадрата)

По Т. Пифагора: AB = = ==см.

S_осн.. =AВ²  ==72 см².

Р= 4·АВ= 4·=см.

4) ABO –прямоугольный, т.к. SHAD. AH=AD=1/2·=см.

По Т. Пифагора: SH = = ==см.

S_бок. =1/2H·Р=1/2··=см².

5) S_{поверх.}= S_осн. + S_бок. =72 см² + см²=72(1+) см².

Ответ: 72(1+) см².

Задача 2.

Высота правильной треугольной пирамиды равна h,а двугранный угол при стороне основания равен 45 градусов. Найти площадь полной поверхности пирамиды.

Решение:

Для того что бы найти площадь полной поверхности пирамиды нам необходимо вычислить площади всех боковых граней и её основания

1.DABC-правильная пирамида , значит точка О-это центр равностороннего треугольника АВС.

2. Дополнительное построение: построим ОЕ перпендикулярно ВС, а так же соединим ДЕ.

По теореме о трёх перпендикулярах получим, что ДЕ перпендикулярен ВС. Тогда угол ДЕО –это линейный угол двугранного угла при основании и он равен 45 градусов. Вы уже знаете , что в правильной пирамиде все двугранные углы при основании равны.

3.Треугольник ДОЕ-прямоугольный, угол ДЕО равен 45 градусов, значит второй острый угол этого треугольника так же равен 45 градусов. Получим, что треугольник ДОЕ- прямоугольный равнобедренный,

Тогда ДО=ОЕ= h.Из данного прямоугольного треугольника найдем ДЕ:

ДЕ=√ДО²+ОЕ²=√ h²+ h²= h√2

4.ДО=ОЕ=r=h, где r –радиус вписанной окружности

Примем сторону правильного треугольника АВС за х.

Тогда площадь этого треугольника будет равна:

S=

соответственно радиус вписанной окружности

r=, где S-площадь треугольника АВС, подставим в эту формулу вместо S =, а вместо r подставим h,  получим

r=h==

преобразуем выражение и выразим х через hх=

5.В формулу нахождения площади треугольника АВС подставим вместо х полученное выражение, получим:

S_ABC====см² 

6.Найдем площадь боковой грани-треугольника ВСД

S_BCD=1/2 x·DE=1/2 x· h√2=1/2·2h√3· h√2=h²√6

7.Теперь мы можем найти площадь боковой поверхности:

S_бок=3* S_BCD =3* h²√6                  

8.Таким образом, площадь полной поверхности равна

S_{полн.пов.}= S_АВС+S_бок=  3√3 h² + 3· h²√6=3h²√3(√2+1) 

Дано: DABC-правильная пирамида, h-высота, двугранный угол при стороне основания 45⁰

Найти: S_полн

Решение:

1. DABC-правильная пирамида→ О-центр равностороннего Δ АВС.

2.Д.п. ОЕ┴ВС; соединим D и E→DE ┴BC(по т.т.п.)

   <  DEO=45⁰

3.Δ DOE-прямоугольный(< DOE=90⁰) равнобедренный

DO=OE=h

По теореме Пифагора :

DE=√DО²+ОЕ²=√ h²+ h²= h√2

4. DО=ОЕ=r=h, где r –радиус вписанной окружности.

Пусть сторона ΔАВС-х.

S=

r=

r=h==х=

5.S_ABC====см²         

6. S_BCD=1/2 x·DE=1/2x· h√2=1/2 ·2h√3· h√2=h²√6

7. S_бок=3· S_BCD =3· h²√6                  

8. S_{полн.пов.}= S_АВС+S_бок=  3√3 h² + 3· h²√6=3h²√3(√2+1)                  

Ответ: S_{полн.пов}=3h²√3(√2+1)