Разложение квадратного трёхчлена на множители

Пусть требуется разложить на множители квадратный трехчлен два икс квадрат минус десять икс плюс восемь. 

Сначала вынесем за скобки старший коэффициент два.  Для того чтобы разложить на множители квадратный трехчлен икс квадрат минус пять икс плюс четыре, представим минус пять икс в виде разности одночленов минус икс и минус четыре икс и применим способ группировки...  Получим произведение двух множителей, первый из которых равен разности между икс и четыре, а второй разности между икс и один.

Значит, два икс квадрат минус десять икс плюс восемь равно удвоенному произведению полученных множителей. При икс равном четырем и икс равном одному произведение, а следовательно и трехчлен, обращаются в нуль. Значит, числа четыре и один являются его корнями.

Итак, мы представили квадратный трехчлен в виде произведения числа два, то есть старшего коэффициента, и двух линейных множителей. Первый из них представляет собой разность между переменной икс и первым корнем трехчлена, второй – разность между переменной икс и вторым корнем трехчлена.

Такое разложение можно получить для любого квадратного трехчлена, имеющего корни. При этом считают, что если дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, то этот трехчлен имеет два равных корня.

Теорема. Если икс первое и икс второе – корни квадратного трехчлена а икс  квадрат плюс бэ икс плюс цэ, то а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равно произведению старшего коэффициента и двух линейных множителей, первый из которых равен разности между икс и первым корнем трехчлена, а второй разности между икс и вторым корнем трехчлена.

Вынесем за скобки в многочлене а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ множитель а.  Так как корни квадратного трехчлена являются корнями соответствующего ему квадратного уравнения, то по теореме Виета сумма корней равна минус бэ деленному на а, произведение корней равно цэ деленному на а. Подставим эти значения в наше выражение… и получим произведение двух линейных множителей, первый из которых равен разности между икс и первым корнем, второй – разности между икс и вторым корнем.

Итак, получили, что квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ равен произведению старшего коэффициента и двух линейных множителей, первый из которых равен разности между икс и первым корнем, второй – разности между икс и вторым корнем…

Существует правило: если квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить на множители, являющиеся многочленами первой степени.2

Докажем это.

Пусть квадратный трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ не имеет корней. Предположим, что его можно представить в виде произведения многочленов первой степени: ка икс плюс эм… и.. пэ икс плюс ку, где ка, эм, пэ и ку – некоторые числа, причем ка и пэ не равны нулю. Данное произведение обращается в нуль при икс равном минус эм, деленное на ка и икс равном минус ку деленное на пэ.  При этих значениях.. икс обращается в нуль и трехчлен а икс квадрат плюс бэ икс плюс цэ, то есть числа минус эм деленное на ка и ку деленное на пэ, являются его корнями. Мы пришли к противоречию, так как по условию этот трехчлен корней не имеет.

Пример первый. Разложить на множители квадратный трехчлен три икс квадрат плюс пять икс минус два.

Решив уравнение три икс квадрат плюс пять икс минус два равно нулю, найдем корни трехчлена. Первый корень будет равен одной третьей, второй корень равен минус двум.

По теореме о разложении квадратного трехчлена на множители получим утроенное произведение разности между икс и первым корнем.. и.. суммы икс и второго корня.

Полученный результат можно записать иначе, если умножить число три на двучлен икс минус одна третья.

Пример второй. Разложим на множители квадратный трехчлен минус пять икс квадрат плюс двадцать икс минус двадцать.

Приравняем данный трехчлен к нулю и решим полученное уравнение. Оба его корня равны двум. Значит, трехчлен можно представить в виде произведения числа минус пять и двух равных линейных множителей икс минус два. Это выражение мы можем записать как произведение числа минус пять и квадрата разности чисел икс и два.

Пример третий. Сократим дробь, числитель которой равен сумме чисел два икс и один, а знаменатель равен квадратному трехчлену два икс квадрат минус семь икс минус четыре.

Разложим знаменатель на множители. Его корни равны минус одна вторая и четыре. Поэтому знаменатель можно представить в виде произведения линейных множителей, первый из которых равен два икс плюс один, второй – икс минус четыре.

Значит, если в дроби знаменатель записать в виде множителей и сократить эту дробь, то получится дробь, числитель которой равен одному, а знаменатель - разности чисел икс и четыре.