Размещения

Пусть имеется четыре книги и три пустые полки. Обозначим книги А, Бэ, Цэ, Дэ. На каждую полку можно поставить по одной книге из этого набора. Если мы поставим книгу А на первую полку, книгу Бэ на вторую полку, книгу Це на третью полку, то получим одну из возможных упорядоченных троек книг.

Выбирая по-разному книги для первой, второй и третьей полок, будем получать различные упорядоченные тройки книг, например: А-Це-Бэ, Бэ-а-це, дэ-це-бэ.

Каждую упорядоченную тройку, которую можно составить из четырех элементов, называют размещением из четырех элементов по три.

Размещением из эн элементов по ка, где ка меньше либо равно эн, называется любое множество, состоящее из ка элементов, взятых в определенном порядке из данных эн элементов.

Таким образом, два размещения из эн элементов по ка считают различными, если они различаются самими элементами или порядком их расположения.

Число размещений из эн элементов по ка обозначают а из эн по ка.

Составим из эн элементов а, бэ, цэ, дэ все размещения по три элемента. Выпишем сначала те размещения, которые начинаются с элемента а, затем те, которые начинаются с элемента бэ, с элемента це, с элемента дэ……

Из составленной таблицы видно, то число размещений из четырех по три равно двадцать четыре.

Число размещений из четырех элементов по три можно найти, не выписывая самих размещений. Будем рассуждать так. Первый элемент можно выбрать четырьмя способами, так как им может быть любой из четырех элементов. Для каждого выбранного первого элемента можно тремя способами выбрать из трех оставшихся второй элемент. Наконец, для каждых первых двух элементов можно двумя способами выбрать из двух оставшихся третий элемент. В результате получаем, что количество размещений из четырех по три равно двадцати четырем.

С помощью тех же рассуждений нетрудно подсчитать, сколько можно составить размещений из эн элементов по ка при ка меньшем эн. Первый элемент можно выбрать эн способами. Так как после этого остаётся эн минус один элементов, то для каждого выбора первого элемента можно выбрать эн минус один способами выбрать второй элемент. Далее, для каждого выбора первых двух элементов можно выбрать эн минус два способами третий элемент и так далее. Наконец, для каждого выбора первых ка минус один элементов можно выбрать эн минус разность ка и один способами элемент с индексом ка. То есть А из эн по ка мы можем представить в виде следующих равенств.

Умножим и разделим правую часть этого равенства на разность эн и ка.. факториал….

Заменив разность эн и ка.. факториал произведением и расположив множители в порядке возрастания, получим следующее выражение…

В числителе дроби записано произведение всех натуральных чисел от одного до эн. Это произведение равно эн факториал. Значит, а из эн членов по ка равно отношению эн факториала к разности эн и ка.. факториал.

Мы получили формулу для вычисления числа размещений из эн элементов по ка, при ка меньшем эн. Формула верна и в том случае, когда ка равно эн, если условиться считать по определению, что ноль факториал равен единице.

Заметим, что размещения из эн элементов по эн отличаются друг от друга только порядком элементов, то есть представляют собой перестановки из эн элементов.

В этом случае по формуле числа размещений получаем, что а из эн элементов по эн равно отношению эн факториал к разности эн и эн факториал, то есть А из эн элементов по эн равно эн факториал.

Мы пришли к уже известной формуле числа перестановок.

Рассмотрим примеры.

Первый пример. Учащиеся четвертого класса изучают одиннадцать предметов. Сколькими способами можно составить расписание на один день, чтобы в нем было пять различных предметов?

Любое расписание на один день, составленное из пяти различных предметов, отличается от другого либо набором предметов, либо порядком их следования. Значит, в этом примере мы говорим о размещении из одиннадцати элементов по пять. Получим, что такое размещение будет иметь пятьдесят пять тысяч четыреста сорок способов.

Второй пример. Сколько трёхзначных чисел без повторений цифр в записи можно составить из цифр ноль, один, два, три, четыре, пять?

Если среди шести цифр нет нуля, то количество трехзначных чисел, которые нужно составить из цифр, равно числу размещений из шести элементов по три. Однако среди данных цифр есть цифра ноль, с которой трехзначные числа не могут начинаться.  Поэтому из размещений из шести элементов мы исключим те, у которых первой цифрой является ноль. Их число равно числу размещений из пяти элементов по два.

Значит, искомое количество трехзначных чисел равно разности а из шести элементов по три,  и А из пяти элементов по два.  Количество полученных способов будет равно ста.