Понятие конуса

Сегодня мы рассмотрим пространственную геометрическую фигуру — «круглое» геометрическое тело — конус.

Давайте вспомним, какие предметы, окружающие нас, имеют форму  конуса.

Теперь рассмотрим, как строится конус. Сначала изображаем в плоскости α окружность L  с центром O  и прямую OP, перпендикулярную к этой окружности.

Каждую точку окружности соединим прямыми с точкой P. Поверхность, образованная этими прямыми, называется конической поверхностью, а сами прямые – образующими конической поверхности.

Точка Р называется вершиной, а прямая OР – осью конической поверхности.

Тело, ограниченное конической поверхностью и кругом с границей L, называется конусом. Коническая поверхность называется боковой поверхностью конуса, а круг – основанием конуса.

Прямая OP, проходящая через центр основания и вершину, называется осью конуса.

Ось конуса перпендикулярна плоскости основания.

Отрезок OP называется высотой конуса. Точка P называется вершиной конуса, а образующие конической поверхности – образующими конуса.

Следует запомнить, что все образующие конуса равны друг другу.

Р – вершина конуса

ОР– ось конуса, ОР основанию 

ОР–высота конуса

ОВ=r –радиус основания конуса,

РА, РВ– образующие конуса (РА=РВ)

Ещё один способ построения конуса – вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов.

На рисунке изображен конус, полученный вращением прямоугольного треугольника МОР  вокруг катета МО.  При этом боковая поверхность конуса образуется вращением гипотенузы МР, а основание — вращением катета РО.

Рассмотрим сечение конуса различными плоскостями.

1.Секущая плоскость проходит через ось конуса.

В этом случае  сечение представляет собой равнобедренный треугольник, основание которого — диаметр основания конуса, а боковые стороны — образующие конуса. Это сечение называется осевым.

АВР– Осевое сечение конуса,

ΔАВР –равнобедренный

АВ=2r

FH–образующая конуса

2.Секущая плоскость перпендикулярна оси ОР конуса.

В этом случае сечение конуса представляет собой круг с центром О, расположенным на оси конуса.

Радиус r₁ этого круга равен  ,

где r  - радиус основания конуса, что легко усмотреть из подобия прямоугольных треугольников РОМ и РО₁М_1.

Докажем, что треугольники подобны.

У прямоугольного треугольника  один угол прямой. Для подобия двух прямоугольных треугольников достаточно, чтобы у них было по равному острому углу. Треугольники РОМ и РО₁М_1. подобны, так как имеют общий острый угол Р, следовательно, сходственные стороны пропорциональны.

 ОР

В сечении круг: r₁– радиус сечения

r₁= r– радиус основания конуса

Δ

ΔРОМΔРО₁М_1.:тре-ки прямоугольные, Р–общий

Задача

Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса.

Построим чертеж и запишем, что дано и что найти по условию задачи.

Решение:

Рассмотрим треугольник ОРВ, он прямоугольный, так как РО перпендикулярно АВ и, по определению конуса, — его высота, значит угол РОВ=90⁰.

Из треугольника ОРВ по теореме Пифагора найдем РВ — гипотенузу треугольника и образующую конуса.

РВ=17см.

Историческая справка!

Коническое сечение  есть пересечение плоскости с круговым конусом. Впервые рассмотрел их  Аполлоний, который в математике известен своими «Коническими сечениями», в которых он дал полное изложение теории, причем развил аналитические и проективные методы.

Существует три главных типа конических сечений: эллипс, парабола и гипербола.

а) Секущая плоскость пересекает все образующие конической поверхности в точках одной его полости; линия пересечения есть замкнутая овальная кривая — эллипс; окружность как частный случай эллипса получается, когда секущая плоскость перпендикулярна оси конуса.

б) Секущая плоскость параллельна одной из касательных плоскостей конической поверхности; в сечении получается незамкнутая, уходящая в бесконечность кривая — парабола, целиком лежащая на одной полости.

в) Секущая плоскость пересекает обе полости конической поверхности; линия пересечения — гипербола — состоит из двух одинаковых незамкнутых, простирающихся в бесконечность частей (ветвей гиперболы), лежащих на обеих полостях конуса.