Сфера и шар

В курсе планиметрии вы познакомились с понятием окружности и круга.

Вспомним, что окружность — это множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки (центр окружности).

Кругом называется часть плоскости, ограниченная окружностью.

Окружность- множество точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки..

Круг-часть плоскости внутри окружности.

Аналогично понятию окружности на плоскости вводится понятие сферы в пространстве.

Поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки, называется сферой.

Сфера- поверхность, состоящая из всех точек пространства , расположенных на заданном расстоянии от данной точки

Данная точка — центр сферы (на рисунке точка О).

Данное расстояние — радиус сферы (на рисунке — отрезок ОС).

Радиусом сферы также называют отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой сферы.

Диаметром сферы называют отрезок, проходящий через центр и любые две точки сферы (на рисунке — отрезок DC).

Аналогично диаметру окружности, диаметр сферы равен двум радиусам.

О- центр сферы.

ОС- радиус сферы R.

DC-диаметр сферы D.

D=2R

Шаром называется тело, ограниченное сферой.

Существует и другое определение шара  — шаром радиуса R с центром в точке О называется тело, которое содержит все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Очевидно, что центр, радиус, диаметр сферы являются центром, радиусом, диаметром шара.

Шар -тело, ограниченное сферой.

Или:

Шар радиуса R с центром в точке О -тело, содержащее все точки пространства, расположенные от точки О на расстоянии, не превышающем R (включая О), и не содержит других точек.

Центр, радиус, диаметр сферы -центр, радиус, диаметр шара.

Сфера может быть получена вращением полуокружности вокруг её диаметра, а шар — вращением полукруга вокруг его диаметра.

Сфера получена вращением полуокружности АСВ вокруг её диаметра АВ.

Разберём несколько задач, применяя полученные знания.

Задача 1.

Точки А и В лежат на сфере с центром О, О не лежит на отрезке АВ. Доказать, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.

Доказательство:

1.АО=ОВ как радиусы, АМ=МВ — по условию, тогда треугольник АОВ – равнобедренный.

2.Отрезок ОМ — медиана треугольника АОВ.

В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является высотой, поэтому ОМ┴АВ.

Таким образом, мы доказали, что если М — середина отрезка АВ, то ОМ┴АВ.

Что и требовалось доказать.

Дано: А и В∈ сфере, О∉АВ, АМ=МВ

Доказать: ОМ┴АВ

 Доказательство:

1. АО=ОВ= R

    АМ=МВ (по условию) Δ АОВ-равнобедренный.

2.ОМ-медиана ΔАОВ ОМ-высота 

ОМ┴АВ

                                                       Ч.т.д.

Задача 2.

Точки А и В лежат на сфере радиусом R. Найти расстояние от центра сферы до прямой АВ, если  АВ=m.

Решение:

1.Дополнительное построение: проведём плоскость через точки А, В и О (центр сферы).

В сечении получим окружность радиуса r.

2.Треугольник АОВ — равнобедренный, так как АО и ОВ — радиусы.

Дополнительное построение: проведём высоту ОМ, которая является и медианой.

ОМ — искомое расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Найдём его.

3.Поскольку АВ=m, ОМ — медиана, то

 МА=МВ=m/2

4. Найдём ОМ из прямоугольного треугольника АОМ по теореме Пифагора

Дано:  А и В ∈сфере, R-радиус, АВ=m

Найти: расстояние от центра сферы до прямой АВ.

Решение:

1.Д.п. проведём плоскость АВО

Сечение- окружность радиуса r.