Сочетания

Пусть имеется пять роз разного цвета. Обозначим их буквами а, бэ, це, дэ, е. Требуется составить букет из трех роз. Определим, какие букеты могут быть составлены.

Если в букет входит роза а, то можно получить такие букеты: а-бэ-це, а-бэ-дэ, а-бэ-е, а-це-де, а-це-е, а-дэ-е.

Если в букет не входит роза а, но входит роза бэ, то можно составить такие букеты: бэ-це-дэ, бэ-це-е, бэ-дэ-е.

Если же в букет не входит ни роза а, ни роза бэ, то возможен только один вариант составления букета: це-дэ-е.

Мы показали все возможные способы составления букетов, в которых по-разному сочетаются три розы из данных пяти. Говорят, что мы составили все возможные сочетания из пяти элементов по три.

Сочетанием из эн элементов по ка называется любое множество, составленное из ка элементов, выбранных из данных эн элементов.

В отличие от размещений, в сочетаниях не имеет значения порядок элементов. Два сочетания из эн элементов по ка отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.

Число сочетаний из эн элементов по ка обозначают так..

В рассмотренном выше примере, составив все сочетания из пяти элементов по три, мы нашли, что количество возможных вариантов равно десяти.

Выведем формулу числа сочетаний из эн элементов по ка, где ка меньше либо равно эн. Выясним сначала, как сочетание выражается через размещения и перестановку. Мы нашли, что из пяти элементов можно составить следующие сочетания по три элемента…

В каждом сочетании выполним все перестановки. Число перестановок из трех элементов равно Пэ из трех элементов. В результате получим все возможные комбинации из пяти элементов по три, которые различаются либо самими элементами, либо порядком элементов, то есть все размещения из пяти элементов по три. Всего получим а из пяти элементов по три.. размещений.

Значит, це из пяти по три элементов умноженное на пэ из три элементов равно а из пяти по три элементов.

Отсюда Це из пяти по три равно отношению а из пяти по три элементов к пэ из трех элементов.

Аналогично рассуждаем и в общем случае. Допустим, что из множества, состоящего из эн элементов, из его элементов составлены все возможные сочетания по ка элементов. Число таких сочетаний равно Цэ из эн элементов по ка. В каждом сочетании можно выполнить Пэ из ка перестановок. В результате мы получим все размещения, которые можно составить из эн элементов по ка. Их количество будет равно а из эн по ка элементов.

Значит, а из эн по ка элементов равно це из эн по ка элементов умноженное на пэ из ка элементов.

Отсюда це из эн по ка элементов будет равно отношению а из эн по ка элементов к пэ из ка элементов.

Пользуясь тем, что а из эн по ка равно отношению эн факториала к произведению ка факториала и разности эн и ка.. факториала.

Мы получили формулу для вычисления числа сочетаний из эн элементов по ка при любом ка меньшем либо равном эн.

Первый пример. Из набора, состоящего из двенадцати карандашей, надо выбрать три карандаша. Сколькими способами можно сделать этот выбор?

Каждый выбор трех карандашей отличается от другого хотя бы одним карандашом. Значит, речь идет о сочетаниях из двенадцати элементов по три….

Следовательно, три карандаша из двенадцати можно выбрать двести двадцатью способами.

Пример второй. В классе учатся 14 мальчиков и 12 девочек. На участия в соревнованиях требуется выделить четырех мальчиков и трех девочек. Сколькими способами это можно сделать?

Выбрать четырех мальчиков из четырнадцати можно це из четырнадцати по четыре способами, а трех девочек из двенадцати – це из двенадцати по три способами. Так как при каждом выборе мальчиков можно це из двенадцати по три способами выбрать девочек, то сделать выбор учащихся, о котором говорится в задаче, можно це из четырнадцати по четыре, умноженное на це из двенадцати по три способами. Таким образом, количество способов будет равно двумстам двадцати тысячам двести двадцати.