Вероятность равновозможных событий

Рассмотрим несколько задач.

Первая задача. Из восемнадцати деталей пять оказались с дефектами. Какова вероятность того, что три выбранные наугад детали будут без дефектов? 

Решение. Пусть А – событие, при котором три выбранные детали окажутся без дефектов. Любой выбор трех деталей из восемнадцати является равновозможным исходом. Значит, общее число равновозможных исходов равно числу сочетаний из восемнадцати по три элемента. Исходом, благоприятным для события А, является выбор трех деталей без дефектов из имеющихся тринадцати деталей без дефектов. Следовательно, число благоприятных для события А исходов равно сочетанию из тринадцати по три элемента. Отсюда получим, что вероятность события A будет равна отношению сочетания из тринадцати по три элемента к сочетанию из восемнадцати по три элемента.

Сочетание из тринадцати по три элемента равно двумстам восьмидесяти шести, число сочетаний из восемнадцати по три элемента равно восьмистам шестнадцати..

Тогда вероятность события А будет приблизительно равна тридцати пяти сотым.

Пример второй. В хоре, в котором 7 девушек и 4 юноши, выбирают четырех солистов. Какова вероятность того, что будут выбраны две девушки и два юноши?

Число исходов при выборе четырех солистов равно сочетанию из одиннадцати по четыре. Все исходы равновозможны.

Пусть А – событие, при котором выбраны две девушки и два юноши. Выбрать двух девушек можно це из семи по два способами, а выбрать двух юношей можно це из четырех по два способами. Каждому выбору двух девушек соответствует це из четырех по два юношей. Значит, число исходов, благоприятных для события А, равно произведению сочетаний из семи по два элемента и из четырех по два элемента.

Отсюда получаем, что вероятность события А равна отношению произведения сочетаний из семи по два элемента и из четырех по два элемента к сочетанию из одиннадцати по четыре элементов. Количество сочетаний из семи по два элемента равно двадцати одному, количество сочетаний из четырех по два элемента равно шесть. Количество сочетаний из одиннадцати по четыре элемента равно триста тридцать. Тогда вероятность события А равна двадцати одной пятьдесят пятой.

Выведем теперь понятия достоверного и невозможного событий.

Событие, которое при проведении опыта или наблюдения происходит всегда, называют достоверным событием.

Пусть Це- событие, которое состоит в том, что при бросании игрального кубика выпадет менее семи очков. Это событие является достоверным. Каждый из исходов выпадения от одного до шести очков является благоприятным для события це. Значит, вероятность наступления события равна шести шестым, то есть единице.

Итак, вероятность достоверного события равна единице.

Событие, которое не может произойти ни при каком исходе опыта или наблюдения, называют невозможным событием.

Обозначим буквой Эф событие, которое означает, что при бросании игрального кубика выпадет семь очков. Очевидно, что такое событие произойти не может. Число благоприятных для него исходов равно ноль шестых, то есть равно нулю.

Так, вероятность невозможного события равна нулю.

Пусть некоторое испытание имеет эн равновозможных исходов, из которых эм исходов благоприятны для события А. Так как количество благоприятных исходов меньше либо равно количеству всех исходов, то их отношение меньше либо равно единице. То есть вероятность наступления события меньше либо равна единице. С другой стороны, всегда вероятность события А больше либо равна нулю. Следовательно, вероятность события А больше либо равна нулю и меньше либо равна единице.

Это можно проиллюстрировать с помощью вероятностной шкалы.

Точка ноль показывает вероятность невозможного события, точка один – вероятность достоверного события. Если событие А не является ни достоверным событием, ни невозможным, то вероятность наступления события А изображена точкой, расположенной между нулем и единицей. Чем больше вероятность наступления события, тем ближе к единице расположена точка Пэ из А элементов. Чем меньше вероятность наступления события, тем ближе к нулю расположена данная точка.

Вероятность случайного события иногда находится, используя геометрические соображения.

Рассмотрим такой пример. Участники игры поочередно бросают дротики в мишень. Мишень представляет собой круг, в котором выделены малый круг и кольцевая зона, причем радиус малого круга вдвое меньше радиуса большого круга. Найдем вероятность того, что при попадании дротика в мишень точка попадания окажется в кольцевой зоне.

Будем считать, что попадание дротика в любую точку мишени равновозможно, и вероятность попадания дротика в какую-либо из областей прямо пропорциональна площади этой области.

Пусть радиус большого круга, представляющего собой мишень, равен Эр, тогда радиус центрального круга равен половине этого радиуса. Площадь мишени равна пи эр квадрат, а площадь центрально круга равна пи, умноженному на половину радиуса в квадрате, то есть отношению пи эр квадрата к четырем. Значит, площадь кольцевой зоны будет равна разности площадей мишени и центрального круга и будет равна отношению три пи эр квадрат к четырем. Вероятность того, что точка попадания дротика окажется в кольцевой зоне, равна отношению площади кольцевой зоны к площади мишени, то есть трем четверым.