Равенство векторов

Введем определение равных векторов.

Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Текст

Равенство векторов

Определение: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны.

Для примера рассмотрим прямоугольный параллелепипед. Векторы АВ и ЕС, отмеченные на параллелепипеде, равны, так как они сонаправлены и их длины равны.

Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами АВ и ЕС

А на этом рисунке векторы АВ и СМ неравны, так как они сонаправлены, но их длины неравны.

Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами

На этом параллелепипеде векторы АН и ОК так же неравны, так как нарушено условие сонаправленности.

Рисунок параллелепипеда с выделенными векторами

Если точка М – начало вектора а, то говорят, что вектор а отложен от точки М.

Рисунок вектора с началом в точке М

Докажем, что от любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному, и притом только один.

Вспомним определения: Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны. И

Если векторы коллинеарны и при этом их лучи сонаправлены, то эти векторы называются сонаправленными.

Пусть нам дан  вектор а  и точка М. Проведем через вектор а и точку М плоскость. В этой плоскости построим вектор МК, равны вектору а.  Очевидно, что вектор МК – искомый вектор. Из построения следует, что этот вектор единственный с началом в точке М и равный вектору а.

Текст

Решим задачу № 323.

На рисунке изображен тетраэдр АВСD, ребра которого все равны. Точки  М, N, P и Q – середины сторон

  AB, AD, DC, BC. Необходимо выписать все пары равных векторов, изображенных на рисунке, и определить вид четырехугольника МNPQ.

Текст

Задача № 323

Дано: точки  М, N, P,Q – середины сторон   AB, AD, DC, BC; 

AB=AD= DC=BC=DD=AC;

Задание: а) выписать пары равных векторов;

б) определить вид четырехугольника

MNHQ .

 Рисунок тетраэдра с серединами сторон из условия задачи

Векторы равны, если они сонаправлены и их длины равны. Из условия задачи знаем, что точка Р середина DC,значит, отрезки DP и PC равны. Векторы DP и PC сонаправлены, а, значит, эти векторы равны.

 NP-средняя линия треугольника ADC, значит, NP равно половинеAC и  параллельно  AC;

MQ-средняя линия тр. ABC, MQ равно половине AC и  параллельно AC;

Значит, NP равно MQ, NP параллельно MQ. Из рисунка видим, что они сонаправленны. Векторы PN и QM равны.

 PQ-средняя линия треугольника DВC; PQ равно половине DB и параллельно DB;

NM-средняя линия треугольника ADB, MN равно половине DB и параллельно DB. Делаем вывод, что вектор QP равен вектору MN.

Рисунок прежний

Пары равных векторов: MN и QP, PN и QM, DP и PC.

Рисунок прежний

Определим вид четырехугольника МNPQ. По условию все ребра тетраэдра равны, значит, он правильный и  скрещивающиеся ребра в нем перпендикулярны.

Имеем: NP параллельно  АС и параллельно QM.

 MN параллельно  DB и параллельно QP.

Отрезки MN, QP, PN и QM равны. Учитывая перпендикулярность DB и АС, можно сделать вывод, что MNPQ - квадрат. Задача решена.

Рисунок прежний