Сложение и вычитание векторов

Введем правило сложения двух векторов.

Пусть нам даны два неколлинеарных вектора  a и b. Отложим от произвольной точки пространства А вектор АВ, равный вектору а. Затем от точки В отложим вектор ВС, равный вектору b. Вектор АС называется суммой векторов а и b.

Нужно отметить, что сумма векторов не зависит от выбора точки А.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника.

Текст

Сложение двух векторов

Рисунок двух неколлинеарных векторов, треугольник, две стороны параллельны данным векторам

При сложении неколлинеарных векторов можно воспользоваться правилом параллелограмма.

Пусть даны векторы а и b. От произвольной точки А отложим векторы АВ и АС, равные соответственно а и b. Достроим до параллелограмма, проведя дополнительные линии, параллельно данным векторам. Вектор AD являющийся диагональю параллелограмма, выходящий из точки А есть сумма векторов а и b.

Текст

Правило треугольника

Рисунок параллелепипеда

Решим задачу №327 под буквой а.

На рисунке  изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁.Назовите вектор, начало и конец которого являются вершинами параллелепипеда, равный сумме векторов    AB и  A₁D₁ .

Воспользуемся правилом параллелограмма. К вектору АВ прибавим вектор АD, равный вектору A₁D_1.

    Суммой этих векторов будет диагональ основания параллелепипеда, то есть вектор АС.

Текст №327(а)

Рисунок параллелепипеда

По правилу параллелограмма

,

Напомним свойства сложения векторов, так как они ни чем не отличаются от свойств сложения векторов в планиметрии:

Для любых трех векторов а, бэ и це, выполняются равенства

1) переместительный закон

2) сочетательный закон

Введем определение противоположных векторов.

Два вектора называются противоположными, если их длины равны и они противоположно направлены

Вектор минус а противоположен вектору а

Вектор DF противоположен вектору FD, и равен минус вектор FD

Противоположные векторы

Если  и – противоположные, то | |=| |,     .

 и – противоположные,

 = –

Определим вычитание векторов

Текст

Вычитание векторов

Разностью векторов    a  и   b  называется такой вектор, сумма которого с вектором  b    равна вектору a.

Разность можно найти как сумму вектора      с противоположным вектором вектору   .

Существует правило для трех точек.

Любой вектор можно представить как разность двух векторов, проведенных из одной точки.

Добавляем третью точку (любую) и задаем разность из  вектора, проведенного из этой точки в конец данного вектора минус вектор, проведенный в начало.

Текст

Правило трех точек

Рисунок разности векторов

(по ходу правила строить сначала вектор ВК затем вектор АК и АВ)

Решим задачу №332

На рисунке изображен параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ Представьте векторы АВ1 и DK в виде разности двух векторов, начала и концы которых совпадают с отмеченными на рисунке точками.

Текст

Задача №332

Рисунок параллелепипеда

Решение.

Рассмотрим вектор АВ1 и воспользуемся правилом трех точек.  Третьей точкой удобно взять точку А1. Вектор, проведенный  в конец то есть в точку В1   будет А1В1 и в начало точку А – вектор А1А. Получаем АВ1 равно А1В1 минус А1А.

Текст

Задача №332

Решение.

Рисунок прежний

Выполним это же задание для вектора DK.  Здесь третьей точкой удобно взять точку D1. Вектор в конец ­ - D1K, в начало - D1D. Получим вектор DK равен D1K минус  D1D.

Текст

Задача №332