Умножение вектора на число

Произведением ненулевого вектора а на число k называется такой вектор  b, длина которого равна модуль |k| умноженный на модуль |а|, причем векторы а и b сонаправлены, если  k положительно и  противоположно направлены, если k отрицательно.

Произведение вектора а на число k обозначается так: ka.

Текст

Умножение вектора на число

Рисунок векторов

Для любого числа k и любого вектора а векторы а и ka коллинеарны.

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Произведение любого вектора на число нуль есть нулевой вектор.

Текст

Умножение вектора на число

Рассмотрим основные свойства умножения вектора на число. Для любых векторов а,b и любых чисел k и l справедливы равенства:

Первое. Произведение k и l, умноженное на вектор а, равно произведению k на вектор lа. Это свойство известно как сочетательный закон. На рисунке, на примере показано это свойство.

Текст

Свойства умножения вектора на число

1. Сочетательный закон

Рисунок векторов

Текст

Второе свойство, первый распределительный закон. Произведение числа k на сумму векторов а и b  равно сумме произведений этого числа на векторы а и b.

На рисунке, на примере показано это свойство.

Текст

Свойства умножения вектора на число

1. Первый распределительный закон

Третье свойство, второй распределительный закон. Произведение суммы чисел k и  l на вектор равно сумме произведений чисел k и l на вектор а.

На рисунке, на примере показано это свойство.

Текст

Свойства умножения вектора на число

1. Второй распределительный закон

Стоит отметить, что произведение числа -1 на любой вектор дает вектор противоположный данному.

Согласно определению произведения вектора на число, их длины равны, а направления противоположны. При условии, что вектор а ненулевой.

Текст

Для векторов в пространстве, как и в планиметрии, выполняется следующее условие:

Если векторы a и b коллинеарны (то есть лежат на одной прямой или на параллельных прямых) и вектор а ненулевой, то существует число k такое что вектор b  равен произведению числа k на вектор а.

Решим задачу №347 (а)

Необходимо упростить выражение.

Решение. Первый распределительный закон позволяет нам раскрыть скобки. А переместительное свойство сложения векторов – привести подобные. 

.