Сложение и умножение вероятностей

Рассмотрим пример. Пусть в ящике находится двадцать кубиков: десять белых, четыре красных и шесть синих. Из ящика наугад вынимают один кубик. Рассмотрим такие события: Событие А – кубик оказался красным, Событие Бэ – кубик оказался синим.

События А и Бэ не могут произойти одновременно. Говорят, что события А и Бэ являются несовместными.

Два события называют несовместными, если в одном и том же испытании они не могут произойти одновременно, то есть наступление одного из них исключает наступление другого.

Пусть событие Це означает, что извлечённый из ящика кубик оказался не белым.

Выясним, как вероятность события Це связана с вероятностями каждого из событий А и Бэ. Найдем вероятности событий А, Бэ и це. Для каждого извлечения кубика из ящика равновозможными являются двадцать исходов. Из них для события А благоприятными являются четыре исхода, для события Бэ – шесть исходов, для события Це – десять исходов. Отсюда, вероятность события А равна четырем двадцатым, вероятность события Бэ –шести двадцатым, вероятность события це – десяти двадцатым.

Мы видим, что вероятность события Це равна сумме вероятностей событий А и Бэ.

Итак, если событие Це означает, что наступает одно из двух несовместных событий А или Бэ, то вероятность события Це равна сумме вероятностей событий А и Бэ.

Пример первый. Есть десять экзаменационных билетов. Ученик вытянул один из них. Какова вероятность того, что номером билета является простое число, или число большее семи.

Пусть событие А означает, что номером билета является простое число, событие Бэ – что номером билета является число большее семи. Для события А существует четыре благоприятных исхода из десяти возможных, то есть появление билета с одним из следующих номеров: два, три, пять, семь. Это означает, что вероятность равна четырем десятым. Для события Бэ благоприятными являются три исхода из десяти равновозможных, то есть появление билета с номером восемь, или девять, или десять. Вероятность этого события равна трем десятым.

Нас интересует событие Це, когда номером билета будет число простое или  большее семи. Событие Це наступает тогда, когда наступает одно из событий А или бэ. Очевидно, что эти события являются несовместными. Это означает, что вероятность события Це равна сумме вероятностей событий А и бэ…, то есть семи десятым.

При решении некоторых задач бывает удобно воспользоваться свойством вероятностей противоположных событий.

Разъясним смысл этого понятия на примере бросания игрального кубика. Пусть событие А означает, что выпало шесть очков, Бэ – что выпало менее шести очков. Всякое наступление события А означает, что наступление Бэ не наступит. А наступление события бэ означает, что событие А не наступит. В таких случаях говорят, что события А и Бэ – противоположные события.

Найдем вероятности событий А и Бэ. Для события А благоприятным является один исход из шести равновозможных исходов. Для события Бэ – пять исходов из шести. Значит, Вероятность события А равна одной шестой, вероятность события Бэ равна пяти шестым. Нетрудно заметить, что их сумма равна единице.

Итак, сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Действительно, пусть проводится некоторое испытание и рассматриваются два противоположных события А и не А. Эти события несовместные. Наступление хотя бы одного из событий является достоверным событием. Отсюда следует, что сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице.

Приведем пример. Бросают два игральных кубика. Какова вероятность того, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше девяти?

Общее число равновозможных исходов равно тридцати шести. Пусть событие А означает, что сумма очков, выпавших на двух кубиках, меньше девяти. Так как благоприятным для события А является большое число исходов, то удобно сначала найти вероятность противоположного ему события не А, которое означает, что сумма выпавших очков больше либо равна девяти. Благоприятными для события не А являются четыре исхода: три-шесть, шесть-три, четыре-пять, пять-четыре.

Поэтому вероятность события не А равна четырем тридцати шестым, то есть одной девятой. Так как события А и не А являются противоположными, то сумма вероятностей событий А и не А равна единице. Это означает, что вероятность события А равна восьми девятым.

Теперь рассмотрим, как можно вычислить вероятность события, состоящего в совместном появлении двух независимых событий.

Два события называются независимыми, если наступление одного из них не влияет на вероятность наступления другого события.

Приведем пример. Пусть в одной из двух коробок находится восемнадцать шаров, три из которых красные, а в другой двадцать четыре шара, четыре из которых красные. Из каждой коробки наугад вынимают по одному шару. Какова вероятность того, что оба шара окажутся красными?

Рассмотрим такие события: А – из первой коробки вынимают красный шар, Бэ- из второй коробки вынимают красный шар.

Для события А благоприятными являются три исхода из восемнадцати, для события Бэ благоприятными являются четыре исхода из двадцати четырех. Значит, вероятность события А равна трем восемнадцатым, вероятность события Бэ равна четырем двадцати четвертым.

Очевидно, что события а и бэ являются независимыми. Рассмотрим событие, которое состоит в совместном появлении событий а и бэ. Обозначим его буквой це.

Общее число равновозможных исходов испытания, в которых наступает событие Це равно произведению восемнадцати и двадцати четырех, так как каждому из восемнадцати извлечений шара из первого ящика соответствует двадцать четыре возможности извлечения шара из второго ящика.

Благоприятными для события Це являются те исходы, при которых оба вытянутых шара окажутся красными. Каждому из трех возможных извлечений красного шара из первой коробки соответствует четыре возможности извлечения красного шара из второй коробки, то есть число благоприятных исходов для события це, равно произведению три и четыре. Следовательно, вероятность извлечения двух шаров будет равна отношению вероятности извлечения двух красных шаров к вероятности совместного появления событий А и Бэ, или, произведению вероятностей извлечения красного шара из каждой коробки.

Итак, если событие це означает совместное наступление событий а и бэ, то вероятность события  Це равна произведению вероятностей событий А и бэ.

Пример. На карточках написаны числа от одного до девяти включительно. Карточки перевернули числами вниз и перемешали. Затем взяли наугад одну карточку, записали ее номер и положили обратно. Карточки снова перемешали. Затем взяли еще одну карточку и записали ее номер. Какова вероятность того, что оба раза будут вытянуты карточки, номера которых являются простыми числами.

Решение. Пусть событие А состоит в том, что в первый раз будет вытянута карточка с простым числом, событие бэ состоит в том, что во второй раз будет вытянута карточка с простым числом. Тогда Вероятность каждого из событий А и бэ будет равна четырем девятым, так как из чисел от одного до девяти четыре являются простыми. Рассмотрим событие Це, которое состоит в том, что оба раза будут вытянуты карточки с простыми числами.

Событие Бэ не зависит от события а, так как извлеченная в первый раз карточка была возвращена обратно.

Значит, вероятность события це равна произведению вероятностей событий а и бэ, то есть приблизительно равна двум десятым.

Заметим, что если бы после извлечения карточка не возвращалась обратно, то события А и Бэ были бы зависимыми.

Действительно, после первого извлечения карточки, осталось бы восемь карточек. Если в первый раз извлекли карточку, номером которой является простое число, то вероятность события Бэ была бы равна трем восьмым. Если же в первый раз извлекли карточку, номером которой является не простое число, то вероятность события бэ равна четырем восьмым.

Пример. В результате многократных наблюдений, было установлено, что вероятность попадания одного стрелка в мишень равна семи десятым, а другого шести десятым. Каждый из стрелков сделал по одному выстрелу по мишени. Какова вероятность поражения мишени?

Рассмотрим события: А- первый стрелок попал в мишень, Бэ – второй стрелок попал в мишень, Це – мишень поражена.

События а и бэ являются независимыми. Но воспользоваться в этом случае умножением вероятностей нельзя, так как событие це наступает не только после того как оба стрелка попали в мишень, но и тогда, когда в мишень попал хотя бы один из них. Поступим иначе. Рассмотрим события не а, не бэ, не це, которые противоположны событиям а, бэ и це. События не а и не бэ являются независимыми событиями, так как промах при выстреле по мишени первого стрелка не зависит от не поражения мишени вторым стрелком. Событие не це означает совместное появление событий не а и не бэ. Поэтому вероятность события не це равна произведению вероятностей появления событий не а и не бэ.

Из свойства вероятностей противоположных событий вытекает, что вероятность события не а равна трем десятым. Вероятность события не бэ равна четырем десятым.

Отсюда получаем, что вероятность появления события не це равна произведению вероятностей событий не а и не бэ и равна двенадцати сотым.

Так как события це и не це являются противоположными, то вероятность события це равна восьмидесяти восьми сотым. Это означает, что вероятность поражения мишени равна восьмидесяти восьми сотым.