Свойства функции

Чтобы узнать, какими свойствами обладает функция, рассмотрим несколько примеров.

На рисунке изображен график зависимости температуры воздуха от времени суток. На оси икс указано время суток в часах, на оси игрек – температура воздуха в градусах Цельсия. Мы видим, что в течение первых пяти часов температура понижалась, с пяти до шестнадцати часов – повышалась, а затем снова понижалась. Таким образом, с помощью графика мы определили некоторые свойства функции, определяющей зависимость температуры воздуха от времени суток.

Рассмотрим теперь свойства функции игрек равно эф от икс, где икс больше либо равно минус шести и меньше либо равно пяти. Выясним, при каких значениях икс функция обращается в ноль, принимает положительные и отрицательные значения.

На рисунке видно, что функция принимает значение, равное нулю при икс равном минус трем и икс равном четырем. Значения аргумента, при которых функция обращается в ноль, называют нулями функции, то есть числа минус три и четыре – нули рассматриваемой функции.  Нули функции разбивают ее область определения – промежуток от минус шести до пяти на три промежутка: от минус шести до минус трех (включая шесть), от минус трех до четырех и от четырех до пяти (включая пять). Для значений икс из промежутка от минус трех до четырех точки графика расположены выше оси икс, а для остальных промежутков – ниже оси икс. Значит, в промежутке от минус трех до четырех функция принимает положительные значения, а в двух других – отрицательные.

Промежутки, в которых функция сохраняет знак, называют промежутками знакопостоянства…

Выясним теперь, как изменяются значения данной функции с изменением икс.

Из графика видно, что с возрастанием икс от минус шести до единицы значения игреков увеличиваются, а с возрастанием икс от единицы до пяти значения игрек уменьшаются. Говорят, что в промежутке от минус шести до единицы, включая числа минус шесть и один, функция является возрастающей, а в промежутке от единицы до пяти, включая числа один и пять, эта функция является убывающей.

Таким образом, можно сказать, что функция называется возрастающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует большее значение функции; функция называется убывающей в некотором промежутке, если большему значению аргумента из этого промежутка соответствует меньшее значение функции.

Если функция возрастает на всей области определения, то ее называют возрастающей функцией, а если убывает, то убывающей функцией.

На рисунках изображены графики возрастающей и убывающей функций соответственно…..

Сейчас мы выясним, какими свойствами обладают ранее изученные нами функции.

Рассмотрим свойства линейной функции игрек равно ка икс плюс бэ, где ка не равно нулю.

• Функция обращается в ноль при икс равном отношению минус бэ и ка.  Для доказательства решим уравнение ка икс плюс бэ равно нулю. Получим, что игрек равен нулю при икс равном отношению минус бэ и ка.
• При ка большем нуля функция принимает отрицательные значения в промежутке от минус бесконечности до минус бэ делённого на ка и положительные значения в промежутке от минус бэ деленного на ка до плюс бесконечности. Убедиться в этом можно решив неравенства ка икс плюс бэ меньше нуля и ка икс плюс бэ больше нуля. Если ка больше нуля, то игрек меньше нуля при икс меньшем минус бэ деленного на ка.. и игрек больше нуля при икс большем минус бэ деленного на ка. При ка меньшем нуля функция принимает отрицательные значения в промежутке от минус бэ деленного на ка до плюс бесконечности и положительные значения в промежутке от минус бесконечности до бэ деленного на ка. Это следует из решения неравенства ка икс плюс бэ меньше нуля и ка икс плюс бэ больше нуля при условии, что ка меньше нуля.
• При ка большем нуля функция игрек равно ка икс плюс бэ является возрастающей, а при ка меньшем нуля – убывающей. Докажем это. Пусть икс первое и икс второе – произвольные значения аргумента, причем икс первое больше икс второго. Игрек первое и игрек второе – соответствующие им значения функции: игрек первое равно ка икс первое плюс бэ, и игрек второе равно ка икс второе плюс бэ. Рассмотрим разность игрек второе и игрек первое. Она будет равна произведению ка и разности между икс второе и икс первое. Второй множитель положителен, так как икс второе больше икс первое. Поэтому знак произведения ка и разности между икс второе и икс первое определяется знаком коэффициента ка. Если ка больше нуля, то произведение ка и разности между икс второе и икс первое больше нуля и игрек первое больше игрек второго. Значит, при ка большем нуля функция игрек равно ка икс плюс бэ является возрастающей. Если ка меньше нуля, то произведение ка и разности между икс второе и икс первое меньше нуля и игрек второе меньше игрек первого. Значит, при ка меньшем нуля функция игрек равно ка икс плюс бэ является убывающей.

Рассмотрим свойства функции игрек равно ка деленное на икс, где ка не равно нулю.

• Функция нулей не имеет. Это следует из того, что ка деленное на икс при любом значении аргумента не обращается в ноль, так как по условию ка не равно нулю.
• Функция игрек равно ка деленное на икс при ка большем нуля принимает отрицательные значения в промежутке от минус бесконечности до нуля и положительные значения в промежутке от нуля до плюс бесконечности. Действительно, если ка больше нуля, то ка деленное на икс меньше нуля при икс меньшем нуля, и ка деленное на икс больше нуля при икс большем нуля. Функция игрек равно ка деленное на икс при ка меньшем нуля принимает отрицательные значения в промежутке от нуля до плюс бесконечности и положительные значения в промежутке от минус бесконечности до нуля. Обоснование этого аналогично изложенному для случая, когда ка больше нуля.
• При ка большем нуля функция игрек равно ка деленное на икс является убывающей в каждом из промежутков от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности, а при ка меньшем нуля – возрастающей в каждом из этих промежутков. Доказательство этого свойства проводится аналогично тому, как это было сделано для линейной функции.

Заметим, что хотя функция игрек равно ка деленное на икс, где ка не равно нулю, убывает или возрастает в каждом из промежутков от минус бесконечности до нуля и от нуля до плюс бесконечности, она не является убывающей или возрастающей функцией на всей области определения.