Решение задач на построение сечений

Решение задач на построение сечений

Подумайте, какой школьный предмет позволяют  научиться правильно выполнять и оформлять чертежи, познакомится с различными графи­ческими способами передачи сведений об объектах предметного мира.

Правильно! Это черчение.

Для изготовления  деталей на заводе используются точные чертежи этих деталей в разрезе.

Разрезы используются для показа внутренней формы изделия.

Разрезом называется изображение, полученное при мысленном рассечении детали одной или несколькими секущими плоскостями. В разрезах показывается то, что получается в секущей плоскости.

На экране изображение

На экране изображение

На экране рисунок

При решении  геометрических задач связанных с тетраэдром и параллелепипедом тоже   иногда необходимо построить разрез фигуры.  Только полученное изображение в геометрии называется сечением.

Давайте разберёмся, что называется сечением тетраэдра и параллелепипеда.

Секущая плоскость α пересекает грани тетраэдра по отрезкам АЕ, ЕС, АС. Треугольник АЕС, сторонами которого являются эти отрезки, называется сечением тетраэдра.

Тетраэдр имеет четыре грани, значит его сечениями могут быть только треугольники  и четырехугольник.

При пересечении параллелепипеда секущая плоскость также оставляет следы на его боковых гранях в виде отрезков. Отрезки образуют многоугольник, который называется сечением параллелепипеда.

Так как у параллелепипеда  шесть граней, то в сечении может получиться фигура  треугольник,

на рисунке вы это видите. Четырехугольник

Пятиугольник и шестиугольник .

При построении сечений очень легко нарушить геометрические факты, теоремы. Например, данное сечение параллелепипеда плоскостью содержит ошибку.

Если плоскость  пересекает две параллельные плоскости, то линии их пересечения параллельны. Значит, отрезок АВ и отрезок RP на чертеже должны быть изображены параллельно. А мы наблюдаем, что это не так . Но и отрезки AR и  BP тоже не параллельны, хотя лежат в параллельных плоскостях. Значит плоскость α, должна пересекать грани АА₁D₁D и BB₁C₁C по параллельным прямым.

Исправим ошибки.

Или на данном чертеже прямая LM пересекает ребро ВC в точке N. Но это невозможно. Прямая LM принадлежит плоскости АА₁D₁D, а прямая ВС не лежит в данной плоскости, значит они не могут пересекаться, они скрещивающиеся прямые.  Так прямая LM не может пересекать DC, ВВ₁ , а вот c прямой  AD они пересекаются.

Исправим  ошибку на чертеже.

На экране текст и изображение:

Сечение тетраэдра

На экране изображение и текст:

Виды сечений тетраэдра

В сечении тераэдра плоскостью лежит  треугольник

В сечении тетраэдра плоскостью лежит  четырёхугольник

На экране изображение и текст:

Сечение параллелепипеда

На экране изображение и текст:

Виды сечений параллелепипеда

В сечении паралелепипеда плоскостью лежит  треугольник

В сечении паралелепипеда плоскостью лежит  пятьугольник

На экране изображение:

На экране обновляется изображение

На экране обновляется чертёж

Рассмотрим примеры построения различных сечений.

Дан тетраэдр АВСD . На его рёбрах отмечены точки K,L,M. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K,L,M.

Изобразим тетраэдр и данные точки.

При построении сечений нужно помнить один факт, что если две плоскости имеют общие точки, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Так  у нас секущая плоскость проходит чрез точки M,L, а они лежат в плоскости CDB, значит ML-линия пересечения плоскостей.

Аналогично прямая KL является линией пересечения секущей плоскости и грани ADB

Для того чтобы построить линию пересечения с гранью АВС нужны две точки. Точка М уже у нас есть.

Для построения второй точки. Продлим до пересечения прямые KL и АВ. Отметим  их общую точку S. Точка S принадлежит секущей плоскости, так как ей принадлежит прямая KL и принадлежит грани АВС, так как ей принадлежит прямая АВ. Значит секущая плоскость пересекает плоскость АВС по прямой MS.

Построим эту прямую. Отметим точку  P- точку пересечения прямой с ребром АС. Отрезок PM- след от сечения грани плоскостью α.

Мы получили в результате две точки K и Р  В грани АDC. Отрезок КР есть линия пересечения секущей плоскости и грани. Проведем этот отрезок.

Четырехугольник  KLMP-искомое сечение.

На экране текст.

Дан тетраэдр АВСD . На его рёбрах отмечены точки K,L,M. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки K,L,M.

Рассмотрим задачу на построение сечения параллелепипеда.

На рёбрах параллелепипеда даны точки K,L,M. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM.

Построим данный параллелепипед и отметим указанные точки.

Так как точки L и M принадлежат грани АА₁D₁D и секущей плоскости, значит прямая LM их линия пересечения, а отрезок LM след от сечения грани АА₁D₁D секущей плоскостью.

Аналогично в грани DD₁C₁C построим прямую MK и выделим отрезок MK.

В грани А₁B₁C₁D₁ есть только одна точка L, для построения второй точки продлим до пересечения прямые D₁C₁ и MK. Отметим их общую точку H.

Точка H принадлежит секущей плоскости, так принадлежит прямой MK. И принадлежит грани A₁B₁C₁D₁, так как принадлежит прямой D₁C₁. Проведем прямую LH. Отметим точку T точку пересечения прямой с ребром B₁C₁. Выделим отрезок LT это будет след от сечения  плоскость.

Так как точки T и К принадлежат секущей плоскости и грани ВВ₁С₁С, то отрезок ТК  будет следом от сечения в этой грани.

Выделим получившийся четырехугольник KMLT. Это искомое сечение.

Рассмотренные задачи относятся к классу задач на построение и имеют свои этапы решения: анализ, построение, доказательство. Мы рассмотрели только этап построения, так как наша цель– научиться строить искомое сечение.

На экране текст:

На рёбрах CC₁,A₁D₁, DD₁ параллелепипеда АВСDA₁B₁C₁D₁ отмечены  точки K,L,M соответственно. Построить сечение параллелепипеда плоскостью KLM.

Комментарий: задачи разобраны очень подробно, оформлены, четко структурированы. были небольшие опечатки по ходу решения.