Многогранники. Понятие правильного многогранника

Многогранники. Понятие правильного многогранника.

Сегодня мы продолжаем изучение многогранников. На прошлом занятии вы познакомились с понятием симметрии и её элементами. Вспомним, симметрию относительно точки(центра) называют центральной; симметрию относительно прямой(оси)-осевой; симметрию относительно плоскости называют зеркальной.
Вы уже знаете, что многоугольник называется правильным, если все его углы равны и все его стороны равны. А какой многогранник называется правильным? Многогранник называется правильным, если в каждой его вершине сходится одинаковое число рёбер и все его грани- правильные многоугольники. Одним из примеров правильного многогранника является куб, так как все его грани-равные квадраты, а к каждой вершине сходится три ребра.	http://ru.wikipedia.org/wiki/%CF%F0%E0%E2%E8%EB%FC%ED%FB%E9_%EC%ED%EE%E3%EE%E3%F0%E0%ED%ED%E8%EA Картинки лучше взять с сайта википедия там они анимированные Пример правильного многогранника: Куб. Все  грани куба -равные квадраты, а к каждой вершине сходится три ребра.
Очевидно, что в правильном многограннике равны все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром, а также все грани равны.	В правильном многограннике равны: 1.Все двугранные углы, содержащие две грани с общим ребром. 2.Все рёбра .
Попробуем доказать, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6. Доказательство. 1.Пусть при одной вершине правильного многогранника сходится n рёбер, тогда плоских углов при этой вершине будет тоже  n, причём эти углы равны между собой. 2. Пусть один из этих углов равен α, тогда сумма плоских углов при вершине равна n*α и по свойству плоских углов многогранного угла мы получим n*α<3600, откуда найдём альфа: α< 360/n 3.Известно, что угол правильного n-угольника равен  β= 180(n-2)/n.   Начиная с n=7 плоский угол станет  меньше 600, а такого правильного многоугольника не существует. Таким образом, мы доказали, что не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные n-угольники при n≥6.
Рассмотрим виды правильных многогранников: 1. Грани правильного многогранника- правильные треугольники, тогда β=600 а) 600*3=1800<3600. В этом случае правильный многогранник имеет 4 грани и называется правильным тетраэдром. Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников б) 600*4=2400<3600. В этом случае правильный многогранник имеет 8 граней и называется правильным октаэдром. Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. в) 600*5=3000<3600. В этом случае правильный многогранник имеет 20 граней и называется правильным икосаэдром. Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников г) 600*6=3600-это противоречит свойству о сумме плоских углов многогранного угла. Значит, других правильных многогранников, грани которых- правильные треугольники не, существует.	1) Грани правильного многогранника- правильные треугольники, тогда β=600 а) 600*3=1800<3600 Правильный тетраэдр составлен из четырёх равносторонних треугольников. б) 600*4=2400<3600 Правильный октаэдр составлен из восьми равносторонних треугольников. в) 600*5=3000<3600 Правильный икосаэдр составлен из двадцати равносторонних треугольников г) 600*6=3600-это противоречит свойству о сумме плоских углов многогранного угла. Других правильных многогранников, грани которых- правильные треугольники, не существует.
2) Грани правильного многогранника- правильные четырёхугольники(квадраты), тогда β=900 а) 900*3=2700<3600. В этом случае правильный многогранник имеет 6 граней и называется правильным гексаэдром(кубом). б) 900*4=3600, следовательно, больше других правильных многогранников, грани которых квадраты не существует.	2) Грани правильного многогранника- правильные четырёхугольники(квадраты), тогда β=900. а) 900*3=2700<3600. Правильный гексаэдр(куб) составлен из шести квадратов. б) 900*4=3600, следовательно других правильных многогранников, грани которых квадраты не существует.
3) Грани правильного многогранника -правильные пятиугольники, β=1080 а) 1080*3=3240<3600. В этом случае правильный многогранник имеет 12 граней и называется правильным додекаэдром. Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. б) 1080*4=4320>3600, значит, других правильных многогранников, грани которых правильные пятиугольники, не существует.	3) Грани правильного многогранника -правильные пятиугольники. β=1080 а) 1080*3=3240<3600 Правильный додекаэдр составлен из двенадцати правильных пятиугольников. б) 1080*4=4320>3600, значит других правильных многогранников, грани которых правильные пятиугольники , не существует.
Таким образом, мы убедились, что каждая вершина правильного многогранника может быть вершиной или трёх, четырёх или пяти равносторонних треугольников; или трёх квадратов или трёх правильных пятиугольников. Поэтому других видов правильных многогранников кроме тетраэдра, октаэдра, куба (гексаэдра), икосаэдра и додекаэдра не существует. Правильные многогранники характерны для философии Платона, в честь которого и получили название «платоновы тела»	Здесь необходимо фото Платона, в окружении пяти правильных многогранников
Разберём несколько задач, применяя полученные знания. Задача 1. Найти угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец. Решение: 1. Пусть а-это ребро куба. Вы уже знаете, что все грани куба- это равные квадраты. Предположим длинна ребра куба равна а и по теореме Пифагора: из треугольника АА1В можем вычислить диагональ каждой грани куба, тогда получаем : A1В= A1C1=ВС1=aкорней из 2 2. Поскольку A1В= A1C1=ВС1, можно сделать вывод, что треугольник A1C1В-равносторонний, все углы которого равны 60 градусов. Итак, угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец, равен 60 градусов.
Задача 2 В кубе ABCDA1B1C1D1  из вершины D1 проведены диагонали граней D1А, D1С и   D1В1, а их концы соединены отрезками. Доказать, что многогранник D1АВ1С-правильный тетраэдр. Найти отношение площадей поверхностей куба и тетраэдра. I) Докажем, что многогранник D1АВ1С-правильный тетраэдр. Вы уже знаете, что все грани куба- это равные квадраты. Диагонали этих квадратов так же будут равными. А так как эти равные диагонали являются рёбрами многогранника D1АВ1С, следовательно данный многогранник D1АВ1С-правильный тетраэдр. Что и требовалось доказать. II) Найдем отношение площадей куба и тетраэдра. 1)Пусть а –ребро куба. Из равнобедренного прямоугольного треугольника АВС найдем АС по теореме Пифагора: АС=a корней из 2ух-ребро тетраэдра. 2)Найдем площадь куба, которая составлена из площади 6 равных квадратов. Sкуба=6а2 3) Найдём площадь тетраэдра, которая состоит из четырёх равных треугольников АВ1С.  В свою очередь, треугольник АВ1С –равносторонний, сторона которого равна диагонали квадрата и равна a корней из 2, а каждый его угол равен 60 градусов. Тогда площадь треугольника равна: SAB1C = корень из 3ех/2  · a квадрат Значит, площадь боковой поверхности тетраэдра D1 АВ1С равна: Sтетр=2а2 умноженное на корень из 3ех 4) Найдем отношение площадей куба и тетраэдра Таким образом, отношение площадей куба и тетраэдра равно √3.	Дано: ABCDA1B1C1D1-куб, D1А, D1С и   D1В1-диагонали граней Доказать: D1АВ1С-правильный тетраэдр Найти:  Sкуба                 Sтетраэдра I) Доказательство: Грани куба-  равные квадраты. Диагонали равных квадратов  равны. Данные диагонали –рёбра D1АВ1С→ D1АВ1С-правильный тетраэдр. Ч.т.д.