Неравенства с двумя переменными

21. Неравенства с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство три икс квадрат минус игрек меньше десяти. При икс равном двум, игрек равном шести — это неравенство обращается в верное числовое неравенство. Говорят, что пара: два и шесть является решением этого неравенства.

Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Рассмотрим, как изображается на координатной плоскости множество решений неравенства с двумя переменными.

Выясним сначала, как найти множество решений линейного неравенства с двумя переменными, то есть неравенства вида а икс плюс бэ игрек меньше це… или а икс плюс бэ игрек больше це, где икс и игрек – переменные, ..а, бэ и це – некоторые числа, причем хотя бы один из коэффициентов а или бэ отличен от нуля.

Рассмотрим, например, неравенство икс плюс три игрек больше шести и заменим его равносильным неравенством игрек больше минус одна третья икс.. плюс два. Выберем произвольно значение икс, например икс равно трем, и найдем соответствующее ему значение выражения.. минус одна третья икс.. плюс два. Оно будет равно единице. Пара чисел: три и один является решением уравнения игрек равно минус одна третья икс.. плюс два, так как ее координаты удовлетворяют этому уравнению. Любые пары чисел вида три игрек, где игрек больше одного, например, пары: три и два, три и восемь, три и двадцать и так далее являются решениями рассматриваемого неравенства. Мы нашли только некоторые решения неравенства игрек больше минус одной третьей… икс плюс два.

Чтобы найти все решения данного неравенства, будем рассуждать аналогично.

Пусть икс нулевое – произвольно выбранное значение икс. Вычислим соответствующее ему значение выражения минус одна третья икс.. плюс два. Получим минус одна третья, умноженная на икс нулевое, плюс два.  Пара чисел икс нулевое игрек нулевое, где игрек нулевое равно минус одна третья икс нулевое.. плюс два, является решением уравнения игрек равно минус одна третья икс.. плюс два. Тогда пары чисел икс нулевое.. игрек, где игрек больше минус одной третьей икс нулевого.. плюс два, то есть игрек больше игрек нулевого, и только эти пары образуют множество решений данного неравенства.

Теперь выясним, что представляет собой множество точек, координаты которых являются решениями неравенства икс плюс три игрек больше шести. Для этого построим прямую игрек равно минус одна третья икс.. плюс два, отметим на ней произвольную точку эм с координатами икс нулевое, игрек нулевое и проведем через нее прямую, перпендикулярную оси икс. Координаты точки эм будут удовлетворять уравнению игрек равно одна третья икс.. плюс два, а координаты любой точки ка с координатами икс нулевое.. игрек, где игрек больше игрек нулевого, то есть точки, расположенной выше точки эм, удовлетворяют неравенству игрек больше минус одна третья икс.. плюс два.

Значит, неравенством икс плюс два игрек больше шести задается множество точек координатной плоскости, расположенных выше прямой игрек равно минус одна третья икс ..плюс два, то есть открытая полуплоскость. Чтобы показать, что прямая игрек равно минус одна третья икс ..плюс два не принадлежит  полуплоскости, она изображена на рисунке штриховой линией.

Можно сделать следующий вывод. Прямая икс плюс три игрек равно шести разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области: область, расположенную выше данной прямой, и область, расположенную ниже данной прямой. Координаты точек первой области удовлетворяют неравенству икс плюс три игрек больше шести, а координаты точек второй области – неравенству икс плюс три игрек меньше шести.

Мы выяснили на частном примере, что представляет собой множество точек координатной плоскости, удовлетворяющих неравенствам а икс плюс бэ игрек меньше це… и а икс плюс бэ игрек больше це, в случае, когда бэ не равно нулю.

Рассмотрим примеры неравенств с двумя переменными второй степени.

Пример первый. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства игрек больше либо равно квадрату разности икс и три.

Построим график уравнения игрек равно квадрат разности икс и три. Отметим на параболе произвольную точку эм с координатами икс нулевое.. игрек нулевое.. и проведем через эту точку перпендикуляр к оси икс. Координаты точки эм удовлетворяют уравнению игрек равно квадрат разности икс и три, а координаты точки ка – икс нулевое.. игрек, где игрек больше игрек нулевого, удовлетворяют неравенству игрек больше квадрата разности икс и три. Таким образом, решениями данного неравенства являются координаты точек, принадлежащих параболе игрек равно квадрат разности икс и три, и координаты точек, расположенных выше ее. Множество решений этого неравенства изображено на рисунке.

Пример второй. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства икс квадрат плюс игрек квадрат меньше либо равно девяти.

Неравенству икс квадрат плюс игрек квадрат меньше либо равно девяти удовлетворяют те и только те пары чисел, сумма квадратов которых не превосходит девяти. Графиком уравнения икс квадрат плюс игрек квадрат равно девять является окружность с центром в начале координат и радиусом три. Эта окружность разбивает координатную плоскость на две области: множество точек, расположенных внутри круга, и множество точек, расположенных вне круга. Первая область вместе с окружностью является множеством точек, координаты которых удовлетворяют неравенству икс квадрат плюс игрек квадрат меньше либо равно девяти, а координаты точек второй области удовлетворяют неравенству икс квадрат плюс игрек квадрат больше девяти.

Пример третий. Выясним, какое множество точек задается неравенством икс игрек больше восьми.

Графиком уравнения икс игрек равно восемь является гипербола. Этот график разбивает координатную плоскость на три области: А, Бэ, Це. Область А расположена выше ветви гиперболы, которая лежит в первой координатной четверти, область Бэ – между ветвями гиперболы, область Це – ниже ветви гиперболы, которая лежит в третьей координатной четверти.

Отметим на ветви гиперболы, расположенной в первой координатной четверти, точку эм с координатами икс нулевое..игрек нулевое. Координаты точки эм удовлетворяют уравнению икс игрек равно восьми, а координаты точки  ка – икс нулевое, игрек, где игрек больше игрек нулевого, удовлетворяют неравенству икс игрек больше восьми, так как произведение координат каждой точки области А больше восьми. Значит, координаты точек, расположенных в области А, удовлетворяют неравенству икс игрек больше восьми.

Аналогично можно доказать, что координаты каждой точки, расположенной в области Бэ, удовлетворяют неравенству икс игрек меньше восьми, то есть они не являются решениями неравенства икс игрек больше восьми. Отсюда следует, что множеством точек, координаты которых удовлетворяют неравенству икс игрек больше восьми, является объединение областей а и Це.