23. Некоторые приемы решения систем уравнений второй степени с двумя переменными.

 

Мы уже познакомились со способом решения систем уравнений с двумя переменными, одно из которых – уравнение первой степени, а другое – второй степени.

Покажем на примерах некоторые приемы решения уравнений, в которых оба уравнения второй степени.

Первый пример.

Решить систему уравнений, одно из которых икс квадрат.. минус четыре игрек квадрат.. минус икс.. плюс два игрек равно нулю, а второе – икс квадрат минус икс игрек.. плюс игрек равно шести.

В этой системе многочлен, записанный в левой части первого уравнения, можно разложить на линейные множители, первый из которых равен икс минус два игрек, а второй – икс плюс два игрек минус один.

Система уравнений тогда запишется в следующем виде…………….

Произведение линейных множителей, первый из которых равен икс минус два игрек, а второй – икс плюс два игрек минус один равно нулю тогда и только тогда, когда один из множителей равен нулю, то есть икс минус два игрек равно нулю… или икс плюс два игрек минус один равно нулю.

Решениями исходной системы являются те пары значений икс и игрек, которые удовлетворяют системе уравнений, одно из которых – икс минус два игрек равно нулю, а другое – икс квадрат минус икс игрек плюс игрек равно шести ,… или системе уравнений, одно из которых  - икс плюс два игрек минус один, второе – икс квадрат минус икс игрек плюс игрек равно шесть.

Поэтому множеством решений исходной системы является объединение множеств решений этих двух систем. Говорят, что данная система равносильна совокупности систем уравнений.

Решим первую систему. Выполним подстановку икс равно два игрек, получим квадратное уравнение два игрек квадрат плюс игрек минус шесть равно нулю, корнями которого являются числа игрек первое равно минус двум, игрек второе равно одной целой пяти десятым. Подставив их значения в первое из уравнений этой системы, найдем, что икс первое равно минус четырем, икс второе равно трем.  Значит первая система имеет решения: минус четыре.. минус два, ..три.. одна целая пять десятых.

Решим вторую систему. Выполнив подстановку икс равно минус два игрек плюс один. В итоге получим квадратное уравнение шесть игрек квадрат.. минус четыре игрек..минус пять равно нулю. Его корнями являются числа игрек первое равно одна целая три десятые и игрек второе равно минус шесть десятых. Тогда значения икс первого и икс второго будут равны минус одна целая шесть десятых и две целых две десятые соответственно. Тогда данная система имеет корни минус одна целая шесть десятых, одна целая три десятые, две целые две десятые, минус шесть десятых.

Значит исходная система уравнений имеет следующие корни: минус четыре, минус два,  три, один с половиной, минус одна целая шесть десятых, одна целая три десятые, две целые две десятые, минус шесть десятых.

Рассмотрим систему уравнений, одно из которых .. три икс квадрат плюс четыре игрек равно икс игрек, второе – икс квадрат минус игрек равно четыре икс игрек.

Воспользуемся способом сложения. Первое уравнение оставим без изменений, второе умножим на четыре. Затем сложим почленно левые и правые части уравнений. Получим уравнение семь икс квадрат равно семнадцать икс игрек, которое можно представить в виде произведения икс на разность семь икс и семнадцать игрек, равного нулю. Значит, исходную систему можно заменить равносильной ей совокупностью систем….

Первая из этих систем имеет единственное решение  - ноль-ноль, вторая система – два решения – ноль-ноль и минус сто девятнадцать сто восемьдесят седьмых, минус сорок девять сто восемьдесят седьмых.

Значит, исходная система имеет решения: ноль-ноль  и минус сто девятнадцать сто восемьдесят седьмых, минус сорок девять сто восемьдесят седьмых.

Пример третий. Решим систему уравнений, одно из которых… два икс квадрат.. плюс три икс игрек.. плюс игрек квадрат равно нулю, а другое – икс квадрат минус четыре икс игрек минус два игрек минус шесть равно нулю.

Левая часть первого уравнения системы – однородный многочлен, то есть каждый член данного многочлена имеет одну и ту же степень.

Разделим обе части первого уравнения на игрек квадрат, предполагая, что игрек не равен нулю. Получим квадратное уравнение относительно икс деленного на игрек…… При этом мы потеряем решение ноль-ноль первого уравнения системы.

Так как пара ноль-ноль не является решением второго уравнения, то полученная система является равносильной исходной системе.

Обозначив икс деленное на игрек буквой тэ, получим уравнение два тэ квадрат плюс три тэ плюс один равно нулю. Решив его, найдем корни: тэ первое равно минус один, тэ второе равно минус пять десятых, то есть икс деленное на игрек равно минус один или икс деленное на игрек равно минус пять десятых. Отсюда икс равно минус игрек или икс равно минус пять десятых игрек.

Таким образом, решение исходной системы можно свести к решению совокупности систем:………

Решив первую систему, найдем, что икс первое равно девять десятых, игрек первое равно минус девять десятых,… икс второе равно минус одна целая три десятые, игрек второе равно одна целая три десятые.

Решив вторую систему, найдем, что икс первое равное шесть десятых, игрек первое равно минус одна целая две десятые, .. икс второе равно минус одна целая пять сотых, игрек второе равно две целые одна десятая.

Таким образом, решениями исходной системы являются пары чисел: девять десятых, минус девять десятых,… минус одна целая три десятые, одна целая три десятые,….  шесть десятых, минус одна целая две десятые, ..минус одна целая пять сотых, две целые одна десятая.

Четвертый пример. Решить систему  уравнений, одно из которых….. икс квадрат плюс.. три икс игрек.. плюс игрек квадрат равно девяти, другое – икс игрек плюс икс плюс игрек равно трем.

Уравнения в этой системе содержат сумму переменных икс и игрек, произведение икс игрек, и сумму квадрата икс и квадрата игрек. Если в этой системе заменить икс на игрек, а игрек на икс, то получим ту же систему. Такие системы называют симметричными системами. Их удобно решать, вводя новые переменные.

Пусть икс плюс игрек равно У, икс игрек равно вэ. Тогда икс квадрат плюс игрек квадрат равно У квадрат минус два вэ.

В результате получим систему уравнений, первое из которых У квадрат.. минус два вэ.. плюс три вэ равно девяти, а второе – вэ плюс У равно три. По-другому эту систему можно записать так: первое уравнение –У квадрат плюс вэ равно девяти, второе - вэ плюс У равно трем.

Решив эту систему неравенств способом подстановки, найдем, что У первое равно минус двум, вэ первое равно пяти,.. У второе равно трем, вэ второе равно нулю.

Выполнив обратную замену, получим совокупность систем…………

Первая из систем имеет решения… икс первое равно минус один плюс корень квадратный из шести, игрек первое равно минус один минус корень квадратный из шести, .. икс второе равно минус один минус корень квадратный из шести, игрек второе равно минус один плюс корень квадратный из шести. Вторая система имеет решение ноль, три.

Решением исходной системы являются точки минус один плюс корень квадратный из числа шесть, минус один минус корень квадратный из шести, минус один минус корень квадратный из шести, минус один плюс корень квадратный из шести, ноль, три