Метод математической индукции

29. Метод математической индукции

Пусть дана последовательность а энное, в которой первый член равен четырем, а с индексом эн плюс один равно сумме а энного, два эн и три.

Попытаемся задать ее формулой энного члена.

Вычислим первые несколько членов последовательности:

Первый член равен четырем; второй член равен сумме четырех, два умноженного на один и три и равен девяти; третий член равен сумме девяти, два умноженного на два и три и равен шестнадцати.

Значит, последовательность начинается так: четыре, девять, шестнадцать.

Естественно предположить, что эту последовательность можно задать формулой а энное равно квадрату суммы эн и один. Формула верна для любых эн, равных единице, двум, трем. Однако, как бы долго мы ни продолжали вычисления, они не дают оснований утверждать, что эта формула верна при любом натуральном эн. Поэтому мы воспользуемся специальным методом рассуждений. Предположим, что формула верна при эн равном ка, то есть а с индексом ка равно квадрату суммы ка и один, и докажем, что она верна и при эн равном ка плюс один, то есть, что а с индексом ка плюс один равно квадрату суммы ка и два.

По условию: а с индексом ка плюс один равно сумме а с индексом ка плюс два ка плюс три. Заменив а с индексом ка на квадрат суммы ка и один,…… Выполним преобразования и получим квадрат суммы ка и два.

Значит, а с индексом ка плюс один будет равно квадрату суммы ка и два. Это означает, что если формула верна для эн равного ка, то она верна и для ка плюс один.

Мы убедились, что формула верна и для эн равного один плюс один, то есть для эн равного двум. Из того, что формула верна для эн равного двум, следует, что формула верна и для эн равного два плюс один, то есть для трех. Из справедливости формулы для эн равного трем вытекает ее справедливость и для эн равного три плюс один, то есть для четырех и так далее.

Ясно, что, строя такую цепочку рассуждений, мы дойдем до любого натурального числа. Значит, формула а энное равно квадрат суммы эн и один верна при любом натуральном эн, то есть последовательность можно задать этой формулой.

Примененный метод доказательства называется методом математической индукции. Он основан на следующем положении, которое известно под названием «принцип математической индукции»:

Утверждение о том, что некоторый факт имеет место при любом натуральном эн, верно, если выполняются два условия. Первое условие: утверждение верно при эн равном единице. Второе условие: из справедливости утверждения для эн равного ка следует его справедливость для эн равного ка плюс один.

Доказательство утверждения методом математической индукции состоит из двух частей. Сначала проверяют его справедливость при эн равном единице. Затем, предположив, что утверждение верно при эн равном ка, доказывают, что оно верно и при эн равном ка плюс один.

Рассмотрим примеры применения метода математической индукции.

Первый пример. При решении некоторых задач из геометрии и механики, Архимедом была выведена следующая формула… Докажем ее справедливость.

При эн равном единице формула верна……

Допустим, что эта формула верна и для эн равного ка…

Докажем, что отсюда следует ее справедливость и для эн равного ка плюс один…

Имеем следующее  преобразование…………

Разложив на множители квадратный трехчлен два ка квадрат плюс семь ка плюс шесть, получим произведение линейных множителей, первый из которых равен сумме ка и два, второй равен сумме два ка и три.

Отсюда мы получили равенство…

Таким образом, мы доказали справедливость формулы Архимеда.

Пример второй. Докажем, что при любом натуральном эн сумма пятнадцати в степени эн и шести кратна семи.

При эн равном единице, утверждение верно, так как сумма будет равна двадцати одному.

Допустим, что утверждение верно и при эн равном ка, то есть сумма пятнадцати в степени ка и шести кратна семи, и докажем, что из этого следует его справедливость и для эн равного ка плюс один, то есть сумма пятнадцати в степени ка плюс один и шести также кратна семи.

Имеем следующее преобразование……………………...

В полученной сумме каждое слагаемое кратно семи, значит, и сумма пятнадцати в степени эн и шести при любом натуральном ка кратна семи. В силу принципа математической индукции утверждение доказано.