Параллельность прямой и плоскости

Геометрия10 класс

Материалы к уроку

  • 6. Параллельность прямой и плоскости.doc

    1.40 MBСкачать
  • 6. Параллельность прямой и плоскости.ppt

    1.03 MBСкачать

Конспект урока

Урок 4. Параллельность прямой и плоскости

 

В этом уроке мы рассмотрим возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве, введем понятие параллельности прямой и плоскости, докажем признак параллельности прямой и плоскости.

 

Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве:

  1. Прямая лежит на плоскости;
  2. Прямая пересекает плоскость, т. е. прямая и плоскость имеют одну общую точку;
  3. Прямая и плоскость не имеют общих точек.

 

Картинка

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек

 

Параллельность прямой A и плоскости a

Текст

Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек

 

 

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

 

Дано:

Плоскость B

Прямая c не лежит в плоскости B

Прямая d лежит в этой плоскости

β параллельна d

Доказать: Прямая a параллельна плоскости B

Доказательство.

Доказательство будем вести от противного.

Предположим: прямая c не параллельна плоскости  B. Тогда она пересекает плоскость B в некоторой точке F.

По лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая d также пересекает эту плоскость.

Пришли к противоречию, по условию  d лежит в плоскости B. Предположение не верно, прямая c параллельна плоскости B.

Что и требовалось доказать.

 

Текст

Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

 

 

Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач.

1.

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то лини пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

 

Доказательство.

По определению, прямые называются параллельными, если:

1) прямые лежат в одной плоскости;

2) прямые не пересекаются.

 

Так как по условию плоскость b проходит через прямую c, а прямая d является общей для плоскостей A и B то c и d лежат в одной плоскости (плоскости B)

 

Так как  прямая c параллельна плоскости  , в которой лежит прямая d, то  c и d не пересекаются.

Оба условия параллельности выполняются.

Можно сделать заключение: d параллельно c 

Что и требовалось доказать

 

 

Текст

Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линии пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

 

 

Картинка

 

2.

Если одна из двух параллельных прямых  параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

 

Если a не пересекает плоскость, то и параллельная ей  прямая b ее не пересекает( по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми).

Поэтому прямая b либо параллельна плоскости, либо лежит в ней.

 

Что и требовалось доказать.

Текст

Если одна из двух параллельных прямых  параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости.

Картинка

 

 

Задача 1.

Точка С лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C параллельные прямые, пересекающие эту плоскость  соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка CC1, если точка C – середина отрезка AB и BB1 = 7 см.

Дано:

Точка A принадлежит плоскости  

C – середина AB

CC1  || BB1

BB1 = 7 см

Найти: CC1

Решение.

1.

Докажем, что все точки лежат в одной плоскости.

Прямая CC1 параллельна BB1, следовательно,  через них можно провести  плоскость B

Точки C, C1, B, B1 будут принадлежать плоскости B

 

Так как две точки C и B прямой AB принадлежат плоскости B то точка A этой прямой тоже будет принадлежать плоскости B.

 

Теперь все точки принадлежат одной плоскости.

  1.  

Рассмотрим ABB1

C – середина ABCC1 || BB1CC1 средняя линия  ABB1.

 

Ответ: 3,5 см

Текст

 

Задача 1.

Точка С лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C параллельные прямые, пересекающие эту плоскость  соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка CC1, если точка C – середина отрезка AB и BB1 = 7 см.

 

Картинка

 

 

 

Текст

Дано:

 

C  – середина AB

CC1  || BB1

BB1 = 7 см

Найти: CC1

 

Решение.

1.Докажем, что все точки лежат в одной плоскости.

CC1 || BB1  через них можно провести плоскость B.

Точки C, C1, B, B1 будут лежат в плоскости B

 

Теперь все точки принадлежат одной плоскости.

2. Рассмотрим ΔABB1

C – середина ABCC1 || BB1CC1 средняя линия  ΔABB1.

 

Ответ: 3,5 см

 

Задача 2. Средняя линия трапеции лежит в плоскости  , Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость   ? Ответ обоснуйте.

Решение.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям.

То есть KL параллельна ВС и AD, и так как KL  лежит в плоскости альфа, то по теореме о трех параллельных прямых

 

 

Прямые, содержащие основания, параллельны плоскости   , поэтому они не пересекают плоскость  

Ответ: Нет.

Текст

Задача 2. Средняя линия трапеции лежит в плоскости  , Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость   ? Ответ обоснуйте.

 

Картинка

 

 

 

Текст

Дано:

ABCD – трапеция

KL – ср. линия трапеции

 

Найти: Пересекают ли прямые  BC и AD плоскость  ?

Решение.

Средняя линия трапеции параллельна основаниям.

 

 

 BC и AD не пересекают плоскость 

Ответ: Нет

 

 

Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!

  • Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

    Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам

  • Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

    Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки

  • Повысим успеваемость по школьным предметам

    Повысим успеваемость по школьным предметам

  • Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ

    Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ