Параллельность прямой и плоскости

Урок 4. Параллельность прямой и плоскости
В этом уроке мы рассмотрим возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве, введем понятие параллельности прямой и плоскости, докажем признак параллельности прямой и плоскости.
Возможны три случая взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве: Прямая лежит на плоскости; Прямая пересекает плоскость, т. е. прямая и плоскость имеют одну общую точку; Прямая и плоскость не имеют общих точек.	Картинка
Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек Параллельность прямой A и плоскости a	Текст Определение. Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек
Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости. Дано: Плоскость B Прямая c не лежит в плоскости B Прямая d лежит в этой плоскости β параллельна d Доказать: Прямая a параллельна плоскости B Доказательство. Доказательство будем вести от противного. Предположим: прямая c не параллельна плоскости  B. Тогда она пересекает плоскость B в некоторой точке F. По лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми, прямая d также пересекает эту плоскость. Пришли к противоречию, по условию  d лежит в плоскости B. Предположение не верно, прямая c параллельна плоскости B. Что и требовалось доказать.	Текст Теорема (признак параллельности прямой и плоскости) Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.
Докажем еще два утверждения, которые часто используются при решении задач. 1. Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то лини пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Доказательство. По определению, прямые называются параллельными, если: 1) прямые лежат в одной плоскости; 2) прямые не пересекаются. Так как по условию плоскость b проходит через прямую c, а прямая d является общей для плоскостей A и B то c и d лежат в одной плоскости (плоскости B) Так как  прямая c параллельна плоскости  , в которой лежит прямая d, то  c и d не пересекаются. Оба условия параллельности выполняются. Можно сделать заключение: d параллельно c  Что и требовалось доказать
Текст Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линии пересечения плоскостей параллельна данной прямой. Картинка
2. Если одна из двух параллельных прямых  параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. Если a не пересекает плоскость, то и параллельная ей  прямая b ее не пересекает( по лемме о пересечении плоскости параллельными прямыми). Поэтому прямая b либо параллельна плоскости, либо лежит в ней. Что и требовалось доказать.	Текст Если одна из двух параллельных прямых  параллельна данной плоскости, то другая прямая также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. Картинка
Задача 1. Точка С лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C параллельные прямые, пересекающие эту плоскость  соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка CC1, если точка C – середина отрезка AB и BB1 = 7 см. Дано: Точка A принадлежит плоскости   C – середина AB CC1  || BB1 BB1 = 7 см Найти: CC1 Решение. 1. Докажем, что все точки лежат в одной плоскости. Прямая CC1 параллельна BB1, следовательно,  через них можно провести  плоскость B Точки C, C1, B, B1 будут принадлежать плоскости B Так как две точки C и B прямой AB принадлежат плоскости B то точка A этой прямой тоже будет принадлежать плоскости B. Теперь все точки принадлежат одной плоскости.   Рассмотрим ABB1 C – середина AB,  CC1 || BB1CC1 средняя линия  ABB1. Ответ: 3,5 см	Текст Задача 1. Точка С лежит на отрезке AB. Через точку A проведена плоскость, а через точки B и C параллельные прямые, пересекающие эту плоскость  соответственно в точках B1 и C1. Найдите длину отрезка CC1, если точка C – середина отрезка AB и BB1 = 7 см. Картинка Текст Дано: C  – середина AB CC1  || BB1 BB1 = 7 см Найти: CC1 Решение. 1.Докажем, что все точки лежат в одной плоскости. CC1 || BB1  через них можно провести плоскость B. Точки C, C1, B, B1 будут лежат в плоскости B Теперь все точки принадлежат одной плоскости. 2. Рассмотрим ΔABB1 C – середина AB,  CC1 || BB1CC1 средняя линия  ΔABB1. Ответ: 3,5 см
Задача 2. Средняя линия трапеции лежит в плоскости  , Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость   ? Ответ обоснуйте. Решение. Средняя линия трапеции параллельна основаниям. То есть KL параллельна ВС и AD, и так как KL  лежит в плоскости альфа, то по теореме о трех параллельных прямых Прямые, содержащие основания, параллельны плоскости   , поэтому они не пересекают плоскость   Ответ: Нет.	Текст Задача 2. Средняя линия трапеции лежит в плоскости  , Пересекают ли прямые, содержащие ее основания, плоскость   ? Ответ обоснуйте. Картинка Текст Дано: ABCD – трапеция KL – ср. линия трапеции Найти: Пересекают ли прямые  BC и AD плоскость  ? Решение. Средняя линия трапеции параллельна основаниям.  BC и AD не пересекают плоскость  Ответ: Нет