Решение систем уравнений второй степени

19. Решение систем уравнений второй степени.

Рассмотрим сначала системы уравнений с двумя переменными, составленные из одного уравнения второй степени и одного уравнения первой степени. Такую систему всегда можно решить способом подстановки. Для этого выполняют следующий алгоритм действий:

• Выражают из уравнения первой степени одну переменную через другую;
• Подставляют полученное выражение в уравнение второй степени, в результате приходят к уравнению с одной переменной;
• Решают получившееся уравнение с одной переменной;
• Находят соответствующие значения второй переменной.

Решим систему из двух уравнений, первое из которых - икс квадрат.. минус пять икс игрек.. минус четыре игрек квадрат равно четыре, второе – икс плюс.. три игрек равно один.

Выразим из второго уравнения переменную икс через игрек: икс равно один минус три игрек. Подставим это выражение в первое уравнение вместо икс. Получим уравнение с переменной игрек. После упрощения получим равносильное уравнение: двадцать  игрек квадрат.. минус одиннадцать  игрек.. минус три равно нулю. Решив его, найдем, что игрек первое равно семидесяти пяти сотым, игрек второе – минус ноль целых две десятые.

Соответствующие значения икс можно найти, подставив найденные значения игрек в одно из уравнений системы, например, во второе. Получим, что икс первое равно минус одной целой двадцати пяти сотым, икс второе – одной целой шести десятым.

Итак, система имеет два решения: икс первое равно минус одна целая двадцать пять сотых, игрек первое равно семьдесят пять сотых; икс второе равно одна целая шесть десятых, игрек второе равно минус ноль целых две десятые.

Если система состоит из двух уравнений второй степени с двумя переменными, то найти ее решения обычно трудно. В отдельных случаях такие системы можно решить способом подстановки или способом сложения.

Решим систему из двух уравнений, первое из которых – икс квадрат минус игрек квадрат равно три, второе – икс игрек равно два.

Воспользовавшись тем, что икс не равен нулю, выразим из второго уравнения переменную игрек через икс: игрек равно два деленное на икс.

Подставим в первое уравнение вместо игрек выражение два деленное на икс. Получим уравнение разность икс квадрат.. и двух, деленного на икс в квадрате равно трем.

Решив его, найдем, что икс первое равно минус двум, икс второе равно двум.

По формуле игрек равно два деленное на икс находим соответствующие значения игрек: игрек первое равно минус один, игрек второе равно один.

Значит, система имеет два решения: икс первое равно минус два, игрек первое равно минус один и икс второе равно два, игрек второе равно один.