Функция вида у= n√ x, их свойства и график
Материалы к уроку
Конспект урока
Функция вида у= n√ x, их свойства и график
Рассмотрим функцию игрек равняется корень энной степени из икс при условии значение аргумента неотрицательно.
Пусть n=4. Построим в одной системе координат два графика функций игрек равняется икс в четвертой степени и игрек равняется корень четвертой степени из икс
Внимательно рассмотрев графики и таблицы, можно заметить, что графики представляют собой ветвь параболы и симметричны относительно прямой у=х (игрек равен икс), так как на построенных ветвях парабол есть точки, которые симметричны друг другу относительно данной прямой. Так точка А графика функции игрек равен икс в четвертой степени с координатами (1/2;1/16) и точка А1 графика функции.
Если рассмотреть точки с координатами (2;16) и (16;2), (3;81) и (81;3), то заметим, что они также симметричны относительно прямой х=у. А точки с координатами (0;0) и (1;1) лежат на данной прямой и являются общими для парабол.
Значит, для любой точки (m;m в четвертой степени) на графике игрек равно икс в четвертой степени есть ей симметричная точка ( m в четвертой степени; m)на втором графике относительно прямой у=х, справедливо будет и обратное утверждение.
Докажем следующую теорему:
Точки А (a;b) и В (b;a) симметричны относительно прямой у=х.
Доказательство: предположим, что a и b – отрицательные числа. Значит, точки А (a;b) и В (b;a) расположены в третьей координатной четверти. А прямая у=х является биссектрисой первой и третьей координатных четвертей. На оси абсцисс отметим точку С (а;0), а на оси ординат точку
К (0; а) (рис.6).
Рассмотрим треугольники СОА и КОВ: ОС=ОК=а по построению,
СА=ВК= b по построению,
Угол ACO равен углу BKO равен 90градусам
, следовательно треугольники равны по первому признаку равенства треугольников. Значит, 1)АО=ВО и следавательно треугольник АОВ — равнобедренный.
2) угол COA равен углу KOB , и так как прямая у=х является биссектрисой угла СОК по построению, то и угол AOM равен углу BOM и ОМ является биссектрисой треугольника АОВ, а следовательно и осью симметрии для точек А и В. Аналогично проводится доказательство и при условии если a и b – положительны.
Сделаем вывод: график функции игрек равняется корень кубический из икса можно получить из графика функции игрек равняется икс в третьей степени, при x меньше 0 с помощью преобразования симметрии относительно графика прямой игрек равняется икс. Таким же образом можно построить график функции игрек равняется корень шестой степени из икса при положительном икс с помощью преобразования симметрии графика функции игрек равняется икс в шестой степени, при положительном икс, относительно прямой игрек равняется икс. (рис.6а)
Обобщим полученные результаты: график функции игрек равен корень энной степени из икс, при x меньше или равно 0 и n – нечетное, симметричен относительно прямой у=х графику функции игрек равен икс в энной степени(рис.7)
Пример 1: Построить график функции игрек равняется сумме корня третьей степени из икс минус один и двух
Для построения данного графика функции нам нужна вспомогательная система координат с началом в точке А (1;2) – пунктирные прямые х′=1(икс штрих равен единице) и у′=2 (игрек штрих равен двум) на рис10. В новой системе координат построим график функции игрек равен корень третьей степени из икса).
Таблица
х |
-8 |
-1 |
0 |
у |
-2 |
-1 |
0 |
Это и будет график данной функции.
Пример 2.
Решите уравнение корень пятой степени из икса равен минус икс минус два
В одной системе координат построим графики двух функций игрек равняется корень пятой степени из икса
х |
-32 |
-1 |
0 |
1 |
32 |
у |
-2 |
-1 |
0 |
1 |
2 |
и у=-х-2(игрек равняется минус икс минус два)( графиком является прямая, которую построим по двум точкам)
х |
-2 |
0 |
у |
0 |
-2 |
(рис.11) графики пересекаются в точке В (-1;-1) (с координатами минус один, минус один). Значит, абсцисса данной точки х= -1 и есть корень данного уравнения.
Остались вопросы по теме? Наши педагоги готовы помочь!
Подготовим к ЕГЭ, ОГЭ и другим экзаменам
Найдём слабые места по предмету и разберём ошибки
Повысим успеваемость по школьным предметам
Поможем подготовиться к поступлению в любой ВУЗ