Сфера. Площадь сферы

Продолжаем изучение сферы.

На прошлых занятиях вы познакомились с определением касательной плоскости к сфере, её свойством, а так же с признаком касательной плоскости к сфере.

Итак, касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания.

Вспомним, что радиус сферы перпендикулярен касательной плоскости, если он проведён в точку касания плоскости и сферы.

Касательной плоскостью называется плоскость, имеющая со сферой только одну общую точку, данную общую точку называют точкой касания.

α-касательная плоскость к сфере.

А-точка касания.

ОА=R┴α

Сферу нельзя развернуть на плоскость, в отличие от боковой поверхности цилиндра или конуса, поэтому здесь непригоден способ вычисления и  определения площади поверхности с помощью развёртки.

Воспользуемся понятием описанного многогранника для определения площади сферы.

Итак, многогранник называется описанным около сферы, если сфера касается всех его граней, другими словами плоскость каждой грани является касательной к сфере.

В этом случае сфера — вписанная.

ABCDA₁B₁C₁D₁-описанный куб (плоскость каждой грани является касательной к сфере).

Сфера- вписанная в куб.

Пусть описанный около сферы многогранник имеет  k граней.

Если неограниченно увеличивать число k граней так, чтобы наибольший размер каждой грани стремился к нулю, то за площадь сферы можно принять предел последовательности площадей поверхностей описанных около сферы многогранников при стремлении к нулю наибольшего размера каждой грани.

При дальнейшем изучении темы «Площадь сферы», мы докажем существование этого предела, а так же выведем следующую формулу для нахождения площади сферы радиуса R:

S=4П R²

(желательна анимационная заставка тетраэдра, куба, додекаэдра описанных около сферы, и многогранника, с увеличивающимся числом граней)

Площадь сферы радиуса R:

S=4ПR²

Применим полученные знания при решении задач.

Задача 1.

Вычислить радиус круга, площадь которого равна площади сферы с радиусом 5 м.

Решение:

1. Площадь сферы вычисляется по формуле:

S=4ПR², радиус сферы равен 5 м.

Таким образом, площадь сферы равна:

S=4П*5²=4П*25=100П (м²)

2.Площадь круга вычисляется по формуле:

S=Пr ², где r-радиус круга.

Из условия известно, что площадь сферы равна площади круга, то есть Пr ²=100 

r ²=100, следовательно r =10 (м).

Таким образом, радиус круга, площадь которого равна площади сферы радиуса 5 м, равен 10 м.

Дано: сфера, круг, R-радиус сферы, R=5 м, S_сф= S_кр

Найти: r-радиус круга.

Решение:

1.Площадь сферы:

S=4ПR², R=5 м  

S_сф=4П*5²=4*25*П=100П (м²)

2.Площадь круга:

S=Пr ², r-радиус круга.

S_сф= S_кр  Пr ²=100П

r ²=100,   r =10 (м).

Ответ: r =10 м.

Задача 2.

Сечение шара площадью 16П см² находится на расстоянии 3 см от центра шара. Найти площадь поверхности шара (сферы).

Решение:

1.Сечение сферы является кругом, площадь которого вычисляется по формуле:

S=Пr ²=16П, где r=АВ — радиус круга.

Найдём радиус сечения r:

r=АВ=4 (см)

2.Рассмотрим треугольник ОАВ:

ОА=d — расстояние (перпендикуляр) от центра шара до сечения.

Значит, угол А равен 90⁰.

Таким образом, из прямоугольного треугольника ОАВ по теореме Пифагора находим отрезок ОВ, который является радиусом сферы:

ОВ= R=√АВ²+ОА²=√4²+3²=√25=5 (см)

3.Площадь сферы вычислим по формуле:

S=4ПR², где R — радиус сферы.

S_сф=4П*5²=4П*25=100П (см²)

Ответ: S_сф=100Псм²

Дано:  шар с центром в т.О, S_сеч=16  см², расстояние от т.О до сечение 3см.

Найти: S_сф

Решение:

1. S=Пr ²=16П, где r=АВ- радиус круга

r=АВ=4 (см)

2. ОА=d-расстояние(перпендикуляр) от центра шара до сечения

А=90⁰ 

Δ ОАВ- прямоугольный.

По теореме Пифагора:

ОВ= R =5 (см)

3. S=4ПR², R-радиус сферы.

S_сф=4П*5²=4П*25=100П (см²)

Ответ: S_сф=100Псм²