Сфера. Уравнение сферы

Сфера. Уравнение сферы

Продолжаем изучение сферы. На прошлых занятиях вы познакомились с определением сферы и шара. Вспомним, что сферой называется поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Данная точка — центр сферы. Заданное расстояние — радиус сферы.	О- центр сферы. ОС- радиус сферы R. DC-диаметр сферы D. D=2R
Прежде чем вывести уравнение сферы, познакомимся с понятием уравнения поверхности в пространстве. Зададим прямоугольную систему координат Оxyz и некоторую поверхность F. Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными  x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.	Уравнением поверхности F называется уравнение с тремя переменными  x, y, z, если этому уравнению удовлетворяют координаты всех точек поверхности F и не удовлетворяют координаты точки, не принадлежащей этой поверхности.
1.Рассмотрим сферу радиуса R  и с центром С(x0; y0; z0). 2.Найдём расстояние от произвольной точки М(x; y; z) до центра С( x0 ; y0 ; z0) по формуле для вычисления расстояния между двумя точками с заданными координатами. МС=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2. 3. Если точка М лежит на сфере, то отрезок МС равен радиусу R, то есть R=√(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2  или R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 . 4.В случае если точка М не принадлежит данной сфере, то R≠МС, значит,  координаты точки М не удовлетворяют уравнению R2=(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2. 5. Таким образом, в прямоугольной системе координат Оxyz уравнение сферы с центром С (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R имеет вид: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2
Применим полученные знания при решении задач. Задача 1. Записать уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N, если А(-2;2;0) и N(5;0;-1). Решение: 1.Запишем уравнение сферы с центром А (x0 ; y0 ; z0) и радиусом R: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2 2.Подставим соответствующие координаты центра сферы А в  данное уравнение: (x+2)2+(y-2)2+(z-0)2 = R2 Уравнение сферы с центром в точке А с координатами (-2;2;0) примет вид: (x+2)2+(y-2)2+z2 = R2 3.Так как сфера проходит через точку N с координатами (5;0;-1), то её координаты удовлетворяют уравнению сферы, подставим координаты этой точки в полученное уравнение: R2=(5+2)2+(0-2)2+(-1)2 =49+4+1=54 Таким образом, уравнение сферы с центром в точке А, которая проходит через точку N имеет вид: (x+2)2+(y-2)2+z2 = 54	Дано: сфера, А-центр сферы, Nсфере, А(-2;2;0),  N(5;0;-1). Найти: уравнение сферы с центром А. Решение: 1. Уравнение сферы с центром А( x0 ; y0 ; z0) и радиусом R: (x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2 = R2 2. А(-2;2;0)  (x+2)2+(y-2)2+(z-0)2 = R2 Уравнение сферы с центром в точке А (-2;2;0): (x+2)2+(y-2)2+z2 = R2 3. N∈сфере; N(5;0;-1) R2=(5+2)2+(0-2)2+(-1)2 =49+4+1=54 Ответ: (x+2)2+(y-2)2+z2 = 54
Задача 2. Сфера задана уравнением: x2+ y2+ z2+2y-4z=4 1) Найти координаты центра и радиус сферы; 2) Найти значение m, при котором точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере. Решение: 1. Уравнение данной сферы имеет вид: x2+ y2+ z2+2y-4z=4 или x2+ y2+2y + z2-4z=4 Выделим полный квадрат для переменных y и z, для этого прибавим и одновременно вычтем 1 и 4 в левой части уравнения: x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4 Уравнение примет вид: x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 или x2+( y+1)2+( z-2)2=9 Таким образом, центр сферы имеет координаты: О (0;-1;2), радиус равен R=√9=3 2.Уравнение сферы с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3 имеет вид: x2+( y+1)2+( z-2)2=9 Точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат данной сфере, значит их координаты удовлетворяют уравнению сферы. Подставим координаты этих точек в уравнение сферы и решим систему уравнений:                       02+( m+1)2+(2-2)2=9                       12+(1+1)2+( m-2-2)2=9 Упростим полученные уравнения, раскрывая скобки и приводя подобные слагаемые: ( m+1)2=9 ( m-4)2=4             m+1= 3             m-4= 2 Таким образом, мы получили 4 значения m: m=-4;   m=2;  m=6;  m=2. Несложно проверить, что при  m=-4 и  m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно. Итак, при m=2 точки А (0; m;2) и В (1;1; m-2) принадлежат сфере, заданной уравнением x2+ y2+ z2+2y-4z=4 с центром в точке О (0;-1;2) и радиусом R=3.	Дано: уравнение сферы x2+ y2+ z2+2y-4z=4 Найти: 1) О( x0 ; y0 ; z0), R. 2) m, при котором точки А(0; m;2) и В(1;1; m-2) принадлежат сфере. Решение: 1. x2+ y2+ z2+2y-4z=4 x2+ y2+2y + z2-4z=4 x2+ y2+2y+1-1 + z2-4z+4-4=4 x2+( y+1)2+( z-2)2-5=4 x2+( y+1)2+( z-2)2=9-уравнение сферы. Центр сферы  О(0;-1;2), радиус R=√9=3 2. x2+( y+1)2+( z-2)2=9 А и Всфере А(0; m;2)    В(1;1; m-2) 02+( m+1)2+(2-2)2=9          12+(1+1)2+( m-2-2)2=9 ( m+1)2=9 ( m-4)2=4 m+1= 3 m-4= 2 m=-4;   m=2;  m=6;  m=2. При  m=-4 и  m=6 координаты точек А и В не удовлетворяют уравнению сферы. Проверьте самостоятельно.  m=2 Ответ:  О(0;-1;2) , R=3. при m=2 точки А(0; m;2) и В(1;1; m-2) принадлежат сфере.